2024-2025学年浙教版数学九上第1章二次函数二阶单元测试卷

试卷更新日期：2024-07-24 类型：单元试卷

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1. 将抛物线y＝x²+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（）

A、y＝（x+1）²﹣3 B、y＝（x+1）²﹣2 C、y＝（x﹣1）²﹣3 D、y＝（x﹣1）²﹣2

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2. 若 $A (a, m)$ ， $B (b, m)$ ， $P (a + b, n)$ 是抛物线 $y = x^{2} + 2 x + 3$ 上不同三点，则 $n$ 的值为( )

A、 $3$ B、 $2$ C、 $6$ D、不确定

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3. 已知函数 $y = x^{2} - 2 x - 1$ ，下列结论正确的是（）

A、函数图象过点 $(- 1 ， 1)$ B、函数图象与 $x$ 轴无交点 C、当 $x \geq 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小 D、当 $x \leq 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小

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4. 在平面直角坐标系中，直线 $y = k x + m$ 与抛物线 $y = x^{2}$ 相交于 $A (a, b)$ ， $B (c, d)$ ，且 $0 < a < c$ ，则下列说法正确的是（）

A、若a＝1－c ， m有最大值 $- \frac{1}{4}$ B、若a＝1－c ， m有最小值 $- \frac{1}{4}$ C、若 $a = 1 - \frac{1}{2} c$ ， m有最大值 $- \frac{1}{2}$ D、若 $a = 1 - \frac{1}{2} c$ ， m有最小值 $- \frac{1}{2}$

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5. 已知二次函数 $y = a x^{2} + 2 x + 1$ （a为实数，且 $a < 0$ ），对于满足 $0 \leq x \leq x_{0}$ 的任意一个x的值，都有 $- 3 \leq y \leq 3$ ，则 $x_{0}$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{3} - 2$ B、 $2 \sqrt{3} + 2$ C、 $2 \sqrt{5} + 2$ D、 $2 \sqrt{5} - 2$

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6. 已知点 $(- 1, y_{1}), (1, y_{2}), (3, y_{3})$ 在下列某一函数图象上，且 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ ，那么这个函数是（）

A、 $y = 3 x$ B、 $y = \frac{3}{x}$ C、 $y = - \frac{3}{x}$ D、 $y = 3 x^{2}$

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7. 在平面直角坐标系中有 $A （ a, b ）$ 与 $B （ b, a ）$ 两点( $a 、 b \neq 0$ )，关于过 $A 、 B$ 两点的直线 $l$ 与二次函数 $y = a x_{}^{2} + b x + 1$ 图象的交点个数判定，哪项为真命题（）

A、只有b>0，才一定有两交点 B、只有b<0，才一定有两交点 C、只有a<0，才一定有两交点 D、只有a>0，才一定有两交点

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8. 已知二次函数 $y_{1} = 2 x^{2} + m x + n, y_{2} = 2 n x^{2} + m x + 1$ （ $m ， n$ 为常数， $n \neq 0$ ）的最小值分别为 $p ， q$ ，（）

A、若 $p + q = 0$ ，则 $p = q = 0$ B、若 $p - q = 0$ ，则 $p = q = 0$ C、若 $p + q = 1$ ，则 $p = q = 0.5$ D、若 $p - q = 1$ ，则 $p = 1 ， q = 0$

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9. 一次函数 $y = a x + b$ 与二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 在同一坐标系中的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知二次函数y＝x²﹣2mx+m²+2m﹣4，下列说法中正确的个数是（）
①当m＝0时，此抛物线图象关于y轴对称；
②若点A（m﹣2，y₁），点B（m+1，y₂）在此函数图象上，则y₁＜y₂；
③若此抛物线与直线y＝x﹣4有且只有一个交点，则 $m = - \frac{1}{4}$ ；
④无论m为何值，此抛物线的顶点到直线y＝2x的距离都等于 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ．

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11. 某车的刹车距离 $y (m)$ 与开始刹车时的速度 $x (m / s)$ 满足二次函数 $y = 0.04 x^{2} (x > 0)$ ，若该车某次的刹车距离为 $9 m$ ，则开始刹车时的速度为 $m / s$ ．

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12. 某农场拟建一个矩形养殖场，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10m，不超出墙)，另外三面用棚栏围成，中间再用棚栏把它分成两个面积为1：2的矩形.已知棚栏的总长度为10m，设较小矩形的宽为 $x (m)$ ，则矩形养殖场总面积的最大值为 $m^{2}$ .

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13. 如图，这是某市文化生态园中抛物线型拱桥及其示意图，已知抛物线型拱桥的函数表达式为 $y = - \frac{1}{40} x^{2} + 10$ ，为了美化拱桥夜景，拟在该拱桥上距水面（AB）6m处安装夜景灯带EF ，则夜景灯带EF的长是m．

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14. 已知函数 $y_{1} = k x + 4 k - 2$ （ $k$ 是常数， $k \neq 0$ ）， $y_{2} = a x^{2} + 4 a x - 5 a$ （ $a$ 是常数， $a \neq 0$ ），在同一平面直角坐标系中，若无论 $k$ 为何值，函数 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的图象总有公共点，则 $a$ 的取值范围是．

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15. 如果二次函数y＝x²+b（b为常数）与正比例函数y＝2x的图象在﹣1≤x≤2时有且只有一个公共交点，那么常数b的值应为．

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16. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，有下列5个结论：
① $a b c > 0$ ；② $b < a + c$ ；③ $4 a + 2 b + c > 0$ ；④ $2 c < 3 b$ ；⑤ $a + b > m (a m + b)$ （ $m \neq 1$ 的实数）.
其中正确的结论有（填序号）.

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三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题7分，第19题7分，第20题6分，第21题8分，第22题10分，第23题10分，第24题12分，共66分）

17. 已知二次函数 $y = a x^{2} + c$ 的图象经过点 $(2 ， 3)$ 和 $(- 1 ， - 3)$ ，求这个二次函数的表达式．

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18. 一人一盔安全守规，一人一戴平安常在，某电动自行车配件店经市场调查，发现进价为40元的新款头盔每月的销售量y（件）与售价x（元）成一次函数关系y＝﹣2x+400．

(1)、若物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，当售价为多少元时，利润达到5600元；

(2)、若获利不得高于进价的80%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大利润是多少元？

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19. 有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌 $M N$ 的距离 $M P = a$ ．现以点M为原点， $M N$ 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（ $d m$ ）表示球与点M之间的水平距离，y（ $d m$ ）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为 $y = - \frac{1}{50} {(x - 10)}^{2} + b$ ；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球， $P B$ 段抛物线可以看作是由 $P A$ 段抛物线向左平移得到．

(1)、当 $a = 4$ 时，
①求b的值；
②求点A ， B之间的距离；

(2)、已知 $B C$ 段抛物线的最大高度为 $\frac{b}{2}$ ，且它的形状与 $P A$ 段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值．

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20. 阅读与应用：
阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为 ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ ，所以 $a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$ 从而 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ （当a=b时取等号）．
阅读2：若函数 $y = x + \frac{m}{x}$ ；（m＞0，x＞0，m为常数），由阅读1结论可知： $x + \frac{m}{x} \geq 2 \sqrt{m}$ ，所以当 $x = \frac{m}{x}$ ，即 $x = \sqrt{m}$ 时，函数 $y = x + \frac{m}{x}$ 的最小值为 $2 \sqrt{m}$ ．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为 $\frac{4}{x}$ ，周长为2（ $x + \frac{4}{x}$ ），求当x= 时，周长的最小值为；
问题2：已知函数 $y_{1} = x + 1$ （ $x > - 1$ ）与函数 $y_{2} = x^{2} + 2 x + 10$ （ $x > - 1$ ），
当x= 时， $\frac{y_{2}}{y_{1}}$ 的最小值为；
问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资4900元；二是学生生活费成本每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入=支出总费用÷学生人数）

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21. 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点 $A$ 处起跳经空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里 $O A$ 表示起跳点 $A$ 到地面 $O C$ 的距离， $O A = 45 m$ ，以 $O$ 为坐标原点，以地面的水平线 $O C$ 为 $x$ 轴， $O A$ 所在的直线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系．某运动员在 $A$ 处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到 $x$ 轴的距离 $y (m)$ 与水平方向移动的距离 $x (m)$ 满足 $y = a x^{2} + 2 x + c (a \neq 0)$ ．在着陆坡上设置点 $K$ 作为基准点，点 $K$ 与 $A O$ 相距 $30 m$ ，高度（与 $O C$ 距离）为 $5 m$ ，着陆点在 $K$ 点或超过 $K$ 点视为成绩达标．

(1)、若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为 $10 m$ 时，恰好达到最大高度，试判断他的这次试跳落地点能否达标，说明理由；

(2)、研究发现，运动员的运动轨迹与清出速度 $v (m / s)$ 的大小有关，下表是某运动员7次试跳的 $a$ 与 $v^{2}$ 的对应数据：
$v^{2}$
150
170
190
210
230
250
270
$a$
$- \frac{1}{6}$
$- \frac{5}{34}$
$- \frac{5}{38}$
$- \frac{5}{42}$
$- \frac{5}{46}$
$- \frac{1}{10}$
$- \frac{5}{54}$
①猜想 $a$ 关于 $v^{2}$ 的函数类型，求函数解析式，并任选一对对应值验证；
②当滑出速度 $v$ 为多少 $m / s$ 时，运动员的成绩刚好能达标？

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22.
【定义】设抛物线与水平直线 $l$ 交于不重合的两点A、B，过抛物线上点 $P$ （不同于A、B）作该水平线的垂线，垂足为C．我们把点 $P$ 与点 $C$ 间的距离称为点 $P$ 关于直线 $l$ 的铅垂高，垂足到点 $A$ 和点 $B$ 间的距离分别称为点 $P$ 关于直线 $l$ 的左水平宽和右水平宽，铅垂高与左、右水平宽的乘积的比称为点 $P$ 关于抛物线的“ $T$ ”系数．例如，如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点A、B，P是抛物线上一点， $P C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，则PC的长为点 $P$ 关于 $x$ 轴的铅垂高，AC，BC的长为点 $P$ 关于 $x$ 轴的左水平宽与右水平宽， $\frac{P C}{A C \times B C}$ 的值称为点 $P$ 关于 $y = a x^{2} + b x + c$ 的“ $T$ "系数．

(1)、【理解】如图2，已知扰物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + x + 4$ 与 $x$ 轴交于点A、B（点A在点 $B$ 左侧），点 $P$ 是挞物线上一点， $P C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ；

①当点 $P$ 的坐标是 $(0, 4)$ 时，点 $P$ 关于 $x$ 轴的铅垂高是，点 $P$ 关于 $x$ 轴的左水平宽是，点 $P$ 关于 $x$ 轴的右水平宽是；
②当点 $P$ 的横坐标是 $m$ 时，则点 $P$ 关于 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + x + 4$ 的“ $T$ "系数是；

(2)、【探究】经过探究可以发现，若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与水平直线 $l$ 交于点A、B，点 $P$ 是拋物线上一点， $P C ⊥ l$ 于点 $C$ ，请求出点 $P$ 关于拋物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的“ $T$ ”系数（用含 $a$ 的代数式表示）；

(3)、
【应用】校门口的隔离栏通常会涂上呈拋物线形状的醒目颜色，如图3，是一个被12根栏杆等分成13等分的矩形隔离栏示意图，其中颜色的分界处（点C，D）以及点A，点 $B$ 落在同一抛物线上，若第4根栏杆涂色部分（CE）的长为 $36 c m$ ，则第6根栏杆涂色部分 $(D F)$ 的长为 $c m$ ．

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23. 抛物线y＝ax²+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和B（4，0），与y轴交于点C ，连接BC ．点P是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点B ， C重合），过点P作y轴的平行线交BC于M ，交x轴于N ，设点P的横坐标为t ．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、用关于t的代数式表示线段PM ，求PM的最大值及此时点M的坐标；

(3)、过点C作CH⊥PN于点H ， S_△_BMN＝9S_△_CHM ，
①求点P的坐标；
②连接CP ，在y轴上是否存在点Q ，使得△CPQ为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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24. 如图，抛物线 $y = - a x^{2} + 2 a x + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C ，连接AC ， BC ， A点的坐标是（ $- 1$ ， 0），点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m ，且m>0．

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、若点Q是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，当PQ∥y轴时，作PM⊥PQ ，交抛物线于点M（点M在点P的右侧），以PQ ， PM为邻边构造矩形PQNM ，求该矩形周长的最小值；

(3)、设抛物线在点C与点P之间的部分（含点C和P）最高点与最低点的纵坐标之差为h ．
①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；
②当h=16时，直接写出△BCP的面积．

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$v^{2}$	150	170	190	210	230	250	270
$a$	$- \frac{1}{6}$	$- \frac{5}{34}$	$- \frac{5}{38}$	$- \frac{5}{42}$	$- \frac{5}{46}$	$- \frac{1}{10}$	$- \frac{5}{54}$

2024-2025学年浙教版数学九上第1章 二次函数 二阶单元测试卷

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题7分，第19题7分，第20题6分，第21题8分，第22题10分，第23题10分，第24题12分，共66分）

2024-2025学年浙教版数学九上第1章二次函数二阶单元测试卷