2024-2025学年浙教版数学九上第1章二次函数三阶单元测试卷

试卷更新日期：2024-07-24 类型：单元试卷

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1. 已知点A（x₁ ， y₁）在抛物线y₁＝nx²﹣2nx+n上，点B（x₂ ， y₂）在直线y₂＝﹣nx+n，当n＞0时，下列判断正确的是（　　）

A、当x₁＝x₂＜1时，y₁＜y₂ B、当x₁＝x₂＞1时，y₁＜y₂ C、当y₁＝y₂＞n时，x₁＞x₂ D、当y₁＝y₂＜n时，x₁＞x₂

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2. 定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min（﹣x²+3，﹣2x}的最大值是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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3. 据科学计算，运载“神十八”的“长征二号” $F$ 火箭，在点火第一秒钟通过的路程为 $2 k m$ ，第二秒时共通过了 $6 k m$ 的路程，第三秒时共通过了 $12 k m$ 的路程，在这一过程中路程与时间成二次函数关系，在达到离地面 $240 k m$ 的高度时，火箭程序拐弯，则这一过程需要的时间大约是（）．

A、10秒钟 B、13秒钟 C、15秒钟 D、20秒钟

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4. 反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象如图所示，则二次函数y＝2kx²﹣4x+k²的图象大致是（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} - 4 a x + c$ （ $a \neq 0$ ）的图象与x轴的一个交点的横坐标为 $- 1$ ，则另一个交点的横坐标为（）

A、5 B、3 C、 $- 3$ D、 $- 5$

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6. 已知点 $A (8 - m, n)$ ， $B (m - 4, e)$ 都在抛物线 $y = x^{2} + (2 - k) x + 1$ 上，若当 $m > 6$ 时，都有 $n > e$ ，则实数k的取值范围是（）

A、 $k < - 2$ B、 $k > 6$ C、 $- 2 < k < 6$ D、 $k < - 2$ 或 $k > 6$

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7. 抛物线 $y = a x^{2} - a (a \neq 0)$ 与直线 $y = k x$ 交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，若 $x_{1} + x_{2} < 0$ ，则直线 $y = a x + k$ 一定经过（）．

A、第一、二象限 B、第二、三象限 C、第三、四象限 D、第一、四象限

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8. 如图，四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 60 °, E$ 为 $A B$ 上一点， $C E$ 的垂直平分线交 $A D$ 于点F ，若 $A B = 2$ ，记 $△ A E F$ 的面积最大值为S ，周长最小值为l ，则（）

A、 $S = \frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $S = \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $l = 2 \sqrt{3}$ D、 $l = 3 \sqrt{3} - \frac{3}{2}$

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9. 关于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0),$ 有以下命题：①若a+b+c=0，则( $b^{2} - 4 a c$ ≥0；②若方程( $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两根为-1和2，则2a+c=0；③若方程( $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实数根，则方程 $a x^{2} + b x + c$ =0必有两个不相等的实数根；④若方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则 $a x^{2} + b x + c = 1$ 无实数根.其中真命题是（）

A、①② B、①②③ C、②③④ D、①③④

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10. 如图，是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象的一部分，图象过点 $A (3, 0)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ，下列结论：① $b^{2} > 4 a c$ ；② $2 a - b = 0$ ；③ $a - b + c > 0$ ；④若 $M (- 2, y_{1})$ ， $N (5, y_{2})$ 为函数图象上的两点，则 $y_{1} < y_{2}$ ．其中正确的结论有　　

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11. 如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系 $y = - 0.02 x^{2} + 0.3 x + 1.6$ 的图象，点 $B (6, 2.68)$ 在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长 $C D = 4 m$ ，高 $D E = 1.8 m$ 的矩形，则可判定货车完全停到车棚内（填“能”或“不能”）.

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12. 如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y＝﹣ $\frac{1}{3}$ x² ，桥下的水面宽AB为6m，当水位上涨2m时，水面宽CD为m（结果保留根号）.

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13. 从地面竖直向上抛出一个小球，若小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系满足 $h = 30 t - 5 t^{2}$ ，则小球从抛出到落地共用时s．

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14. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x - 3$ 的图象与x轴交于点A ，与y轴交于点B ，且 $O A = 1$ ．

(1)、 $b =$ ．

(2)、已知点P为该抛物线上一点且设其横坐标为 $t (t < 0)$ ，记该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）这部分图象的最高点和最低点到x轴的距离分别为 $d_{1}, d_{2}$ ．若 $| d_{1} - d_{2} | = 1$ ，则t的取值范围为．

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15. 图1是一个瓷碗，图 2 是其截面图，碗体 DEC 呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm．

(1)、当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为；

(2)、如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM=45°时停止，此时碗中液面宽度CH= ．

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16. 抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + c$ （ $a$ ， $c$ 是常数且 $a \neq 0$ ， $c > 0$ ）经过点 $A (3 ， 0)$ ．下列四个结论：①该抛物线一定经过 $B (- 1 ， 0)$ ；② $2 a + c > 0$ ；③点 $P_{1} (t + 2022 ， y_{1})$ ， $P_{2} (t + 2023 ， y_{2})$ 在抛物线上，且 $y_{1} > y_{2}$ ，则 $t > - 2021$ ④若 $m$ ， $n (m < n)$ 是方程 $a x^{2} + 2 a x + c = p$ 的两个根，其中 $p > 0$ ，则 $- 3 < m < n < 1$ ．其中正确的结论是（填写序号）．

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三、解答题（本题共8小题，第17题9分，第18题9分，第19题6分，第20题9分，第21题9分，第22题4分，第23题10分，第24题10分，共66分）

17. 已知，关于 $x$ 的二次函数 $y_{1} = 2 x^{2} - 40 x - 3$ ．

(1)、若函数 $y_{1} = 2 x^{2} - 4 x - 3$ 经过点 $A (4, - 3)$ ，求拋物线的对称轴．

(2)、若点P(t-2，p)，Q(t+3，q)均在抛物钱y=2x²-4tx-3上，则pq(填">"，“<"或"=”).

(3)、记 $y_{2} = 4 x^{2} + 2 x - 1$ ，当 $- 2 ⩽ x ⩽ 2$ 时， $y_{2} > y_{1}$ 始终成立，求 $t$ 的取值范围．

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18. 已知二次函数的图象L过点 $(0, \frac{3}{2})$ ，顶点坐标为 $(- 1, 2)$ ．

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、L与x轴相交于A ， B两点（点A在点B左侧），求A ， B两点坐标；

(3)、将L向上平移个 $k (k > 0)$ 单位长度，与x轴相交于 $A_{1}$ ， $B_{1}$ 两点，若点 $K (k, 0)$ 在线段 $A_{1} B_{1}$ 上，求k的取值范围．

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19. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a$ （ $a$ 为常数且 $a \neq 0$ ）的顶点在 $x$ 轴上方，且到 $x$ 轴的距离为4．

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、将二次函数 $y = a x^{2} - 2 a - 3 a (x \geq 0)$ 的图象记为 $T_{1}$ ，将 $T_{1}$ 关于原点对称的图象记为 $T_{2}, T_{1}$ 与 $T_{2}$ 合起来得到的图象记为 $T$ ，完成以下问题：
①在网格中画出函数 $T$ 的图象；
②若对于函数 $T$ 上的两点 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})$ ，当 $x_{1} \leq - 2, t \leq x_{2} \leq t + 1$ 时，总有 $y_{1} > y_{2}$ ，求出 $t$ 的取值范围．

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20. 某商品每件进价25元，在试销阶段该商品的日销售量y（件）与每件商品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线ABC所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于50元）．

(1)、直接写出y与x的函数关系式；

(2)、若日销售单价x（元）为整数，则当日销售单价x（元）为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少；

(3)、若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围．

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21. 【项目式学习】
项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？
项目背景：

(1)、任务一：确定滑道的形状
图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．AC垂直于水平底面BC，点D到A之间的滑道呈抛物线型，已知 $A C = 3$ m， $B C = 4$ m，且点B处于跳台滑道的最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．

(2)、任务二：确定运动员达到最高点的位置
如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件：
①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同，
②该运动员在底面BC上方竖直距离9.75m处达到最高点P
③落点Q在底面BC下方竖直距离2.25m．
在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离．

(3)、任务三：确定拍摄俯角 $α$
高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄：
①它与点B位于同一高度，且与点B距离25.5m；
②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为 $α$ ；
③在平面直角坐标系中，设射线MN的解析式为 $y = k x + b (k \neq 0)$ ，其比例系数k和俯角 $α$ 的函数关系如图5所示．
若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角 $α$ 至少多少度（精确到个位）？

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22.

草莓种植大棚的设计
生活背景	草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光．
建立模型	$（ 1 ）$ 如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线 $O P N$ ，其中点P为抛物线的顶点，大棚高 $P E = 4 m$ ，宽 $O N = 12 m$ ．现以点O为坐标原点， $O N$ 所在直线为x轴，过点O且垂直于 $O N$ 的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式．图1
解决问题	$（ 2 ）$ 如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中 $A B = B E = E C = C D$ ．求门高 $A B$ 的值． $（ 3 ）$ 若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段 $O Q$ ，求此时 $O Q$ 的长．图2

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23. 如图，直线 $y = - x + 4$ 交 $x$ 轴于点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，对称轴为 $x = \frac{3}{2}$ 的抛物线经过 $B ， C$ 两点，交 $x$ 轴负半轴于点 $A$ ． $P$ 为抛物线上一动点，点 $P$ 的横坐标为 $m$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线交抛物线于另一点 $M$ ，作 $x$ 轴的垂线 $P N$ ，垂足为 $N$ ，直线 $M N$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若 $0 < m < \frac{3}{2}$ ，当 $m$ 为何值时，四边形 $C D N P$ 是平行四边形？

(3)、若 $m < \frac{3}{2}$ ，设直线 $M N$ 交直线 $B C$ 于点 $E$ ，是否存在这样的 $m$ 值，使 $M N = 2 M E$ ？若存在，求出此时 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

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24. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 经过 $A (- 1, 0)$ 、 $B (4, 0)$ 两点， $D (x, y)$ 为抛物线上第一象限内的一个动点．

(1)、求抛物线所对应的函数表达式；

(2)、当 $△ B C D$ 的面积最大时，求点 $D$ 的坐标；

(3)、过点 $D$ 作 $D E ⊥ B C$ ，垂足为点 $E$ ，是否存在点 $D$ ，使 $∠ D C E = 2 ∠ A B C$ ，若存在，求点 $D$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

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2024-2025学年浙教版数学九上第1章 二次函数 三阶单元测试卷

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

三、解答题（本题共8小题，第17题9分，第18题9分，第19题6分，第20题9分，第21题9分，第22题4分，第23题10分，第24题10分，共66分）

2024-2025学年浙教版数学九上第1章二次函数三阶单元测试卷