2024-2025学年浙教版数学九上第1章二次函数一阶单元测试卷

试卷更新日期：2024-07-24 类型：单元试卷

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1. 抛物线 $y = x^{2} + 2 x + 3$ 的顶点坐标是（）

A、 $(- 1, 4)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(1, 4)$ D、 $(- 1, 2)$

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2. 已知 $y = (a - 1) x^{2} - 2 x + a^{2}$ 是关于x的二次函数，其图象经过 $(0, 1)$ ，则a的值为（）

A、 $a = \pm 1$ B、 $a = 1$ C、 $a = - 1$ D、无法确定

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3. 把抛物线 $y = - x^{2} + 1$ 向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）

A、 $y = - {(x + 3)}^{2} + 1$ B、 $y = - {(x + 1)}^{2} + 3$ C、 $y = - {(x - 1)}^{2} + 4$ D、 $y = - {(x + 1)}^{2} + 4$

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4. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线 $y = 2 x^{2} + 8 x + 4$ 的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（）

A、只有甲 B、丙和丁 C、甲和丁 D、乙和丙

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5. 已知二次函数 $y = a x^{2} + (2 a - 3) x + a - 1$ （x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（）

A、 $1 \leq a < \frac{9}{8}$ B、 $0 < a < \frac{3}{2}$ C、 $0 < a < \frac{9}{8}$ D、 $1 \leq a < \frac{3}{2}$

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6. 如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数 $y = - \frac{1}{25} x^{2} .$ 在正常水位时水面宽AB=30m，当水位上升5m时，水面宽CD=（）

A、8m B、10m C、15m D、20m

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7. 已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），当y＞n时，x的取值范围是m-4＜x＜2-m，且该二次函数的图象经过点P（2，t²+5），Q（s，4t）两点，则s的值可能是（　　）

A、3 B、2 C、0 D、1

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8. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 中，函数 $y$ 与自变量 $x$ 的部分对应值如表，以下结论正确的是（）
$x$
…
-1
0
1
2
3
…
$y$
…
3
0
-1
$m$
3
…

A、抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的开口向下 B、当 $x < 3$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而增大 C、当 $y > 0$ 时， $x$ 的取值范围是 $0 < x < 2$ D、方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根为0和2

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9. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = a x + b (a \neq 0)$ 的图象大致为( )

A、 B、 C、 D、

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10. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交点C的纵坐标在﹣3～﹣2之间，根据图象判断以下结论：①abc²＞0；② $\frac{4}{3}$ ＜b＜2；③若 $a x_{1}^{2}$ ﹣bx₁＝ $a x_{2}^{2}$ ﹣bx₂且x₁≠x₂ ，则x₁+x₂＝﹣2；④直线y＝﹣ $\frac{5}{6}$ cx+c与抛物线y＝ax²+bx+c的一个交点（m ， n）（m≠0），则m＝ $\frac{1}{2}$ ．其中正确的结论是（）

A、①②④ B、①③④ C、①②③ D、①②③④

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二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11. 二次函数 $y = - {(x - 6)}^{2} + 8$ 的最大值是．

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12. 已知抛物线y=x²-6x+m与x轴有且只有一个交点，则m=.

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13. 如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02x²+0.3x+1.6的图象，点B（6，2.68）在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4m ，高DE＝1.8m的矩形，则可判定货车完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．

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14. 在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据a₁ ， a₂ ， …，a_n ，如果a与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（单位：cm），则这株青稞穗长的最佳近似值为cm．

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15. 对于一个二次函数 $y = a (x - m)^{2} + k$ （ $a \neq 0$ ）中存在一点 $P (x^{'}, y^{'})$ ，使得 $x^{'} - m = y^{'} - k \neq 0$ ，则称 $2 | x^{'} - m |$ 为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x + 3$ “开口大小”为．

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16. 如图，分别过点 $P_{i} (i, 0) (i = 1 、 2 、 \cdot \cdot \cdot 、 2023)$ 作 $x$ 轴的垂线，交 $y = x^{2}$ 的图象于点 $A_{i}$ ，交直线 $y = - x$ 于点 $B_{i}$ ，则 $\frac{1}{A_{1} B_{1}} + \frac{1}{A_{2} B_{2}} + \frac{1}{A_{3} B_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{A_{2023} B_{2023}}$ 的值为．

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三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题6分，第23题8分，第24题12分，共66分）

17. 已知二次函数的顶点坐标为(3,－1),且其图象经过点(4,1),求此二次函数的解析式.

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18. 已知一次函数 $y_{1} = m x + n (m \neq 0)$ 和二次函数 $y_{2} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，下表给出了 $y_{1} ， y_{2}$ 与自变量 $x$ 的几组对应值：
$x$
…
$- 2$
$- 1$
0
1
2
3
4
…
$y_{1}$
…
5
4
3
2
1
0
$- 1$
…
$y_{2}$
…
$- 5$
0
3
4
3
0
$- 5$
…

(1)、求 $y_{2}$ 的解析式；

(2)、直接写出关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > m x + n$ 的解集．

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19. 一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索 $L_{1}$ 与缆索 $L_{2}$ 均呈抛物线型，桥塔 $A O$ 与桥塔 $B C$ 均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线 $F F^{'}$ 为x轴，以桥塔 $A O$ 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
已知：缆索 $L_{1}$ 所在抛物线与缆索 $L_{2}$ 所在抛物线关于y轴对称，桥塔 $A O$ 与桥塔 $B C$ 之间的距离 $O C = 100 m$ ， $A O = B C = 17 m$ ，缆索 $L_{1}$ 的最低点P到 $F F^{'}$ 的距离 $P D = 2 m$ （桥塔的粗细忽略不计）

(1)、求缆索 $L_{1}$ 所在抛物线的函数表达式；

(2)、点E在缆索 $L_{2}$ 上， $E F ⊥ F F^{'}$ ，且 $E F = 2.6 m$ ， $F O < O D$ ，求 $F O$ 的长．

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20. 花坛水池中央有一喷泉，水管 $O C = 3 m$ ，水从喷头C喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，为增强欣赏效果，喷头C不定时自动升降，上下升降的范围是 $\pm 1.2 m$ ．建立如图所示的平面直角坐标系，水的落地点B距水池中央的水平距离为 $n m$ ，水流所形成的抛物线L： $y = a x^{2} - 2 a x + 3$ 的最高点距离水面4m．

(1)、求a ， n的值以及抛物线的顶点坐标；

(2)、升降喷头C时，水流所形成的抛物线形状不变．某一时刻，身高1.65m的小丽同学，恰好站在距花坛中心水管2m的位置，则喷头C在升降过程中，水流是否会打湿小丽的头发？

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21. 【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也服务于生活．
【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的 $P$ 处有一棵古树与墙 $C D, A D$ 的距离分别是 $13 m$ 和 $6 m$ ，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用 $28 m$ 长的篱笆围成一个矩形花园 $A B C D$ （篱笆只围 $A B, B C$ 两边），设 $A B = x m$ ．
【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将这棵古树 $P$ 围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．
【解决问题】思路：把矩形 $A B C D$ 的面积 $S$ 与边长 $x$ （即 $A B$ 的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可．

(1)、请用含有 $x$ 的代数式表示 $B C$ 的长；

(2)、花园的面积能否为 $192 m^{2}$ ？若能，求出 $x$ 的值，若不能，请说明理由：

(3)、求面积 $S$ 与 $x$ 的函数解析式，写出 $x$ 的取值范围：并求当 $x$ 为何值时，花园面积 $S$ 最大？

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22. 根据以下素材，探索完成任务．

设计跳长绳方案

素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：
（1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人；
（2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．

素材2：某班进行赛前训练，发现：
（1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为6m，绳子最高点为2m，摇绳同学的出手高度均为1m，如图2；
（2）9名跳绳同学身高如右表．

身高（m）	1.70	1.73	1.75	1.80
人数	2	2	4	1

素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现：
（1）跳绳时，人的跳起高度在0.25m及以下较为舒适；
（2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的

．

问题解决

任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式．

任务2：确定排列方案．该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持0.45m的间距．请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．

任务3：方案优化改进．据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整．班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至0.85m.此时中段长绳将贴地形成一条线段（x线段AB），而剩余的长绳则保持形状不变，如图4．

请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题．

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23. 如图，△ABC中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A (- 2, 0)$ ， $C (6, 0)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 的图象与AB交于点 $D (m, 4)$ ，与BC交于点E ．

(1)、求m ， k的值；

(2)、点P为反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 图象上一动点（点P在D ， E之间运动，不与D ， E重合），过点P作 $P M ∥ A B$ ，交y轴于点M ，过点P作 $P N ∥ x$ 轴，交BC于点N ，连接MN ，求△PMN面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

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24. 如图，将抛物线 $C_{1} : y = x^{2} - 4 x$ 沿直线 $l : y = - 2 x$ 向左上方平移，平移后的抛物线记为 $C_{2}$ ，直到其顶点D与原点重合时平移停止．

(1)、若抛物线 $C_{1}$ 与x轴交于A ， B两点（点A在点B的左侧），求出A、B两点的坐标；

(2)、设抛物线 $C_{2}$ 在平移过程中与y轴交于点C ，设其顶点D的横坐标为m ．
①用含m的式子表示顶点D的坐标；
②当点C与原点的距离最大时，求抛物线 $C_{2}$ 的解析式；

(3)、在抛物线 $C_{2}$ 的平移过程中，直线 $l^{'} : y = n$ 与抛物线 $C_{2}$ 交于点M ， N ，与抛物线 $C_{1}$ 交于点P ， Q ．当抛物线 $C_{2}$ 在平移停止后，若 $\frac{P Q}{M N}$ 的值是整数，请直接写出n的最大值．

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$x$	…	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	…
$y_{1}$	…	5	4	3	2	1	0	$- 1$	…
$y_{2}$	…	$- 5$	0	3	4	3	0	$- 5$	…

2024-2025学年浙教版数学九上第1章 二次函数 一阶单元测试卷

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题6分，第23题8分，第24题12分，共66分）

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