浙教版数学九上章末重难点专训二次函数综合-面积问题

试卷更新日期：2024-07-24 类型：单元试卷

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一、解答题

1. 如图，已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，其中 $A (- 2, 0), C (0, - 2)$ ．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、若 $P$ 是二次函数图象上的一点，且点 $P$ 在第二象限，线段 $P C$ 交 $x$ 轴于点 $D, △ P D B$ 的面积是 $△ C D B$ 的面积的2倍，求点 $P$ 的坐标．

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2. 如图，在平面直角坐标系中，将一等腰直角三角板 $A B C$ 放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，其中 $A$ 的坐标为 $(0, 2)$ ，直角顶点 $C$ 的坐标为 $(- 1, 0)$ ，点Ｂ在抛物线 $y = a x^{2} + a x - 2$ 上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为 $D$ ，连结 $B D$ 、 $C D$ ，求 $△ D B C$ 的面积；
（3）在抛物线上是否还存在点 $P$ （点B除外），使 $△ A C P$ 仍然是以 $A C$ 为直角边的等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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3. $($ 本小题 $8$ 分 $)$
如图，已知二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图像与 $x$ 轴交于 $A (- 2,0)$ ， $B (1,0)$ 两点．

(1)、求 $b 、 c$ 的值．

(2)、若点 $P$ 在该二次函数的图象上，且 $▵ P A B$ 的面积为 $6$ ，求点 $P$ 的坐标．

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二、实践探究题

4. 综合与实践
问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图 $2, A B = 6$ 米，AB的垂直平分线与抛物线交于点 $P$ ，与AB交于点 $O$ ，点 $P$ 是抛物线的顶点，且 $P O = 9$ 米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点 $C$ ，使 $∠ A C B = 9 0^{°}$ ．用篱笆沿线段AC，BC分隔出 $△ A B C$ 区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点 $F$ （不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用䈑笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步 $△ A B C$ 区域的分隔后，发现仅剩6米蓠笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为 $x$ 轴，OP所在直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系，请按照她的方法解决问题：

(1)、在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；

(2)、求6米材料恰好用完时DE与CF的长；

(3)、种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．

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5. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴相交于 $A (2, 0)$ ， $B (- 2, 0)$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C, M$ 为第四象限的抛物线上一动点．

(1)、直接写出抛物线的函数表达式；

(2)、连接 $B C, C M$ 和 $A M$ ，当四边形 $A B C M$ 的面积为9时，求点 $M$ 的坐标；

(3)、请完成以下探究．
【动手操作】作直线 $O M$ ，交抛物线于另一点 $N$ ，过点 $C$ 作 $y$ 轴的垂线，分别交直线 $A M$ ，直线 $B N$ 于点 $D, E$ ．
【猜想证明】随着点 $M$ 的运动，线段 $D E$ 的长是否为定值？若是，请直接写出该定值并证明；若不是，请说明理由．

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6. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究 $y = a x^{2} (a > 0)$ 型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点 $F (0, \frac{1}{4 a})$ 的距离PF ，始终等于它到定直线1： $y = - \frac{1}{4 a}$ 的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线， $y = - \frac{1}{4 a}$ 叫做抛物线的准线的表达式．准线l与y轴的交点为H ．其中原点O为FH的中点， $F H = 2 O F = \frac{1}{2 a}$ ．
例如，抛物线 $y = 2 x^{2}$ ，其焦点坐标为 $F (0, \frac{1}{8})$ ，准线表达式为l： $y = - \frac{1}{8}$ ，其中 $P F = P N$ ， $F H = 2 O F = \frac{1}{4}$ ．

(1)、【基础训练】请分别直接写出抛物线 $y = \frac{1}{8} x^{2}$ 的焦点坐标和准线l的表达式；

(2)、【技能训练】如图2，已知抛物线 $y = \frac{1}{8} x^{2}$ 上一点 $P (x_{0}, y_{0}) (x_{0} > 0)$ 到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；

(3)、【能力提升】
如图3，已知抛物线 $y = \frac{1}{8} x^{2}$ 的焦点为F ，准线为l ．直线m： $y = x - 3$ 交y轴于点C ，抛物线上动点P到x轴的距离为 $d_{1}$ ，到直线m的距离为 $d_{2}$ ，请直接写出 $d_{1} + d_{2}$ 的最小值；

(4)、【拓展延伸】把抛物线 $y = \frac{1}{8} x^{2}$ 沿y轴向下平移2个单位得抛物线 $y_{1}$ ，如图4，点 $D (- 1, \frac{3}{2})$ 是第二象限内一定点，点P是抛物线 $y_{1}$ 上一动点．当 $P O + P D$ 取最小值时，请求出△POD的面积．

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三、综合题

7. 如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C ，其中B（1，0），C（0，3）．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在第二象限的抛物线上是否存在一点P ，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由．

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8. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 3, 0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, 3)$ ，点 $D$ 在抛物线上．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、当点 $D$ 在第二象限内，且 $△ A C D$ 的面积为3时，求点 $D$ 的坐标；

(3)、在直线 $B C$ 上是否存在点 $P$ ，使 $△ O P D$ 是以 $P D$ 为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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9. 如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c与直线y＝x+2相交于A（﹣2，0），B（3，m）两点，与x轴相交于另一点C ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D ，交直线AB于点E ，当PE＝2ED时，求P点坐标；

(3)、抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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10. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与x轴分别交于点 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ，与y轴交于点 $C (0, - 3)$ ， P ， Q为抛物线上的两点.

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、当P ， C两点关于抛物线对轴对称， $△ O P Q$ 是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标；

(3)、设P的横坐标为m ， Q的横坐标为 $m + 1$ ，试探究： $△ O P Q$ 的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.

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11. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} x_{}^{2} - 2 x - 6$ 与x 轴相交于点 A，点B，与y轴相交于点 C.

(1)、请直接写出点 A，B，C 的坐标；

(2)、点P(m，n)(0<m<6)在抛物线上，当m 取何值时，△PBC的面积最大? 并求出. △PBC面积的最大值；

(3)、F是抛物线上的动点，作 FE//AC 交x轴于点E，是否存在点 F，使得以A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形? 若存在，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由.

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12. 如图1，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ （a ， b为常数， $a \neq 0$ ）经过点 $A (- 3, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，与y轴交于
点C ．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、如图2，若点P为第二象限内抛物线上一点，连接 $A P$ 、 $C P$ 、 $B C$ 、 $P B$ ，当 $△ A P C$ 与 $△ P C B$ 的面积和最大时，求点P的坐标及此时 $△ A P C$ 与 $△ P C B$ 的面积和；

(3)、如图3，点Q是抛物线上一点，连接 $B Q$ ，当 $∠ Q B A = ∠ A C B$ 时，求点Q的坐标．

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一、解答题

二、实践探究题

三、综合题

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