浙教版数学九上章末重难点专训 二次函数综合-面积问题
试卷更新日期:2024-07-24 类型:单元试卷
一、解答题
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1. 如图,已知二次函数的图象与轴交于两点,与轴交于点 , 其中 .(1)、求二次函数的表达式;(2)、若是二次函数图象上的一点,且点在第二象限,线段交轴于点的面积是的面积的2倍,求点的坐标.2. 本小题分
如图,已知二次函数的图像与轴交于 , 两点.
(1)、求的值.(2)、若点在该二次函数的图象上,且的面积为 , 求点的坐标.二、实践探究题
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3. 综合与实践
问题情境:如图1,矩形MNKL是学校花园的示意图,其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形,点A,B在矩形的边MN上.现要对该花坛内种植区域进行划分,以种植不同花卉,学校面向全体同学征集设计方案.
方案设计:如图米,AB的垂直平分线与抛物线交于点 , 与AB交于点 , 点是抛物线的顶点,且米.欣欣设计的方案如下:
第一步:在线段OP上确定点 , 使 . 用篱笆沿线段AC,BC分隔出区域,种植串串红;
第二步:在线段CP上取点(不与C,P重合),过点F作AB的平行线,交抛物线于点D,E.用䈑笆沿DE,CF将线段AC,BC与抛物线围成的区域分隔成三部分,分别种植不同花色的月季.
方案实施:学校采用了欣欣的方案,在完成第一步区域的分隔后,发现仅剩6米蓠笆材料.若要在第二步分隔中恰好用完6米材料,需确定DE与CF的长.为此,欣欣在图2中以AB所在直线为轴,OP所在直线为轴建立平面直角坐标系,请按照她的方法解决问题:
(1)、在图2中画出坐标系,并求抛物线的函数表达式;(2)、求6米材料恰好用完时DE与CF的长;(3)、种植区域分隔完成后,欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰,计划将灯带围成一个矩形.她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置,其中两个顶点在抛物线上,另外两个顶点分别在AC,BC上.直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值.4. 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴相交于 , 两点,与轴相交于点为第四象限的抛物线上一动点.(1)、直接写出抛物线的函数表达式;(2)、连接和 , 当四边形的面积为9时,求点的坐标;(3)、请完成以下探究.【动手操作】作直线 , 交抛物线于另一点 , 过点作轴的垂线,分别交直线 , 直线于点 .
【猜想证明】随着点的运动,线段的长是否为定值?若是,请直接写出该定值并证明;若不是,请说明理由.
5. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象.发现:如图1所示,该类型图象上任意一点P到定点的距离PF , 始终等于它到定直线1:的距离PN(该结论不需要证明).他们称:定点F为图象的焦点,定直线l为图象的准线,叫做抛物线的准线的表达式.准线l与y轴的交点为H . 其中原点O为FH的中点, .例如,抛物线 , 其焦点坐标为 , 准线表达式为l: , 其中 , .
(1)、【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的表达式;(2)、【技能训练】如图2,已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍,求点P的坐标;(3)、【能力提升】如图3,已知抛物线的焦点为F , 准线为l . 直线m:交y轴于点C , 抛物线上动点P到x轴的距离为 , 到直线m的距离为 , 请直接写出的最小值;
(4)、【拓展延伸】把抛物线沿y轴向下平移2个单位得抛物线 , 如图4,点是第二象限内一定点,点P是抛物线上一动点.当取最小值时,请求出△POD的面积.三、综合题
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6. 如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C , 其中B(1,0),C(0,3).(1)、求抛物线的解析式;(2)、在第二象限的抛物线上是否存在一点P , 使得△APC的面积最大.若存在,请直接写出点P坐标和△APC的面积最大值;若不存在,请说明理由.7. 如图,抛物线与轴交于点和点 , 与轴交于点 , 点在抛物线上.(1)、求该抛物线的解析式;(2)、当点在第二象限内,且的面积为3时,求点的坐标;(3)、在直线上是否存在点 , 使是以为斜边的等腰直角三角形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.8. 如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2相交于A(﹣2,0),B(3,m)两点,与x轴相交于另一点C .(1)、求抛物线的解析式;(2)、点P是直线AB上方抛物线上的一个动点(不与A、B重合),过点P作直线PD⊥x轴于点D , 交直线AB于点E , 当PE=2ED时,求P点坐标;(3)、抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.9. 二次函数的图象与x轴分别交于点 , , 与y轴交于点 , P , Q为抛物线上的两点.(1)、求二次函数的表达式;(2)、当P , C两点关于抛物线对轴对称,是以点P为直角顶点的直角三角形时,求点Q的坐标;(3)、设P的横坐标为m , Q的横坐标为 , 试探究:的面积S是否存在最小值,若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由.10. 如图1,已知抛物线(a , b为常数,)经过点 , , 与y轴交于
点C .
(1)、求该抛物线的解析式;(2)、如图2,若点P为第二象限内抛物线上一点,连接、、、 , 当与的面积和最大时,求点P的坐标及此时与的面积和;(3)、如图3,点Q是抛物线上一点,连接 , 当时,求点Q的坐标.