【培优版】2024-2025学年浙教版数学九上1.3二次函数的性质同步练习

试卷更新日期：2024-07-24 类型：同步测试

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一、选择题

1. 抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（　　）

A、b+c＞1 B、b＝2 C、b²+4c＜0 D、c＜0

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2. 已知二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0），当y＜n时，x的取值范围是t－3＜x＜1－t ，且该二次函数的图象经过点M（3，m²＋3），N（d ， 2m）两点，则d的值不可能是（）

A、－3 B、－1 C、2 D、4

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3. 如图所示，抛物线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{6} (x - 2) (x + 6)$ 经过矩形ABCD的三个顶点A ， B ， D，则点C的坐标为（）

A、 $(- 6, - 2 \sqrt{3})$ B、 $(- 4, 2 \sqrt{3})$ C、 $(- 4, - 2 \sqrt{3})$ D、 $(6, 2 \sqrt{3})$

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4. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象经过点 $A (- 4, k - 2)$ ， $B (- 2, k)$ ， $C (2, k)$ ．当 $0 \leq m \leq x \leq m + 1$ 时，该函数有最大值 $p$ 和最小值 $q$ ，则 $p - q$ （）

A、有最大值 $\frac{1}{24}$ B、无最大值 C、有最小值 $\frac{1}{24}$ D、无最小值

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5. 设一元二次方程 $(x - 1) (x - 2) = m (m > 0)$ 的两根分别为 $α ， β$ ，且 $α < β$ ，则 $α ， β$
满足（）

A、 $1 < α < β < 2$ B、 $1 < α < 2 < β$ C、 $α < 1 < β < 2$ D、 $α < 1$ 且 $β > 2$

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6. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} - x + c (- 6 \leq x \leq 0)$ 与x轴交于点A(－6，0)．点 $P (t, y_{1})$ ， $Q (t + 3, y_{2})$ 是抛物线上两点，当t≤x≤t＋3时，二次函数最大值记为 $y_{最大值}$ ，最小值记为 $y_{最小值}$ ，设 $m = y_{最大值} - y_{最小值}$ ，则m的取值范围是（）

A、 $\frac{9}{16} \leq m \leq \frac{9}{4}$ B、 $\frac{9}{4} \leq m \leq \frac{15}{4}$ C、 $\frac{9}{16} \leq m \leq 1$ D、 $\frac{9}{16} \leq m \leq \frac{15}{4}$

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7. 如图，把二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象在x轴上方的部分沿着x轴翻折，得到的新函数叫做 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的“陷阱”函数．小明同学画出了 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的“陷阱”函数的图象，如图所示并写出了关于该函数的4个结论，其中正确结论的个数为（）
①图象具有对称性，对称轴是直线 $x = 1$ ； ②由图象得 $a = 1$ ， $b = - 2$ ， $c = - 3$ ；③该“陷阱”函数与y轴交点坐标为 $(0 ， - 3)$ ；④ $y = - a x^{2} - b x - c (a \neq 0)$ 的“陷阱”函数与 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的“陷阱”函数的图象是完全相同的．

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的顶点坐标为 $(- 1 ， n)$ ，其部分图象如图所示，下列结论：① $a b c > 0$ ；② $9 a + 3 b + c < 0$ ③若点 $M (- \frac{3}{2} ， y_{1})$ ，点 $N (\frac{1}{2} ， y_{2})$ 是函数图象上的两点，则 $y_{1} < y_{2}$ ；④关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = n + 1$ 无实数根；其中正确结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

9. 已知二次函数 $y = - x^{2} + 2 m x - m^{2} - m + 1$ （m为常数）的图象与x轴有交点，且当x＜-3时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 纸片中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $B C = 1$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在 $B C$ 、 $A B$ 边上，连接 $D E$ ，将 $△ B D E$ 沿 $D E$ 翻折，使点 $B$ 落在点 $F$ 的位置，且四边形 $B E F D$ 是菱形．

(1)、若点 $F$ 在 $A C$ 边上时，则菱形 $B E F D$ 的边长为；

(2)、连接 $A F$ ，则 $A F$ 的长的最小值为．

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11. 如图，在正方形ABCD中， $A B = 8$ ，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG．点H是CD上一点，且 $D H = \frac{5}{8} C D$ ，连接GH，则GH的最小值为．

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12. 如图是抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象的一部分，抛物线的顶点坐标为 $A (1 ， - 3)$ ，与x轴的一个交点为 $B (4 ， 0)$ ，点A和点B均在直线 $y_{2} = m x + n (m \neq 0)$ 上．① $2 a + b = 0$ ；② $a b c < 0$ ；③抛物线与x轴的另一个交点为 $(- 4 ， 0)$ ；④方程 $a x^{2} + b x + c = - 3$ 有两个不相等的实数根；⑤不等式 $m x + n > a x^{2} + b x + c$ 的解集为 $1 < x < 4$ ．上述五个结论中，其中正确的结论是（填写序号即可）．

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三、综合题

13. 如图，在一次足球比赛中，守门员在地面 $O$ 处将球踢出，一运动员在离守门员8米的 $A$ 处发现球在自己头上的正上方4米处达到最高点 $M$ ，球落地后又一次弹起.据实验测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半.

(1)、求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式及第一次落地点 $B$ 和守门员（点 $O$ ）的距离；

(2)、运动员（点 $A$ ）要抢到第二个落点 $C$ ，他应再向前跑多少米？（假设点 $O$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在同一条直线上，结果保留根号）

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14. 如图，二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} - x + 4$ 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．

(1)、求点A、B、C的坐标；

(2)、若点M在抛物线的对称轴上，且△MAC的周长最小，求点M的坐标；

(3)、若点P在x轴上，且△PBC为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标．

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15. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ （ $a \neq 0$ ）与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；

(3)、如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点 $K (1 ， 3)$ 的直线（直线 $K D$ 除外）与抛物线交于G，H两点，直线 $D G$ ， $D H$ 分别交x轴于点M，N．试探究 $E M \cdot E N$ 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．

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四、实践探究题

16. 定义：若两个二次函数 $y_{1} ， y_{2}$ 的图象关于 $x$ 轴对称，则称 $y_{1} ， y_{2}$ 互为“对称二次函数”.

(1)、已知二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 1$ ，则它的“对称二次函数”的顶点坐标为.

(2)、已知关于 $x$ 的二次函数 $y_{1} = - 2 x^{2} + 4 m x + 3 m - 2$ 和 $y_{2} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，其中 $y_{1}$ 的图象经过点 $(2 ， 1)$ .若 $y_{1} + y_{2}$ 与 $y_{1}$ 互为“对称二次函数”，求函数 $y_{2}$ 的表达式；

(3)、在(2)的条件下，当 $n ⩽ x ⩽ n + 1$ 时， $y_{2}$ 的最小值为-2，请直接写出 $n$ 的值.

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17. 法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ， $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ）的两个实数根分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，那么 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ ．习惯上把这个结论称作“韦达定理”．

(1)、方程 $3 x^{2} - 4 x - 2 = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，求 $x_{1} + x_{2}$ 和 $x_{1} \cdot x_{2}$ 的值．

(2)、方程 $x^{2} + 2 x - 4 = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，求 $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}}$ 的值．

(3)、若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 为关于x的方程 $x^{2} - (2 m - 3) x + m^{2} - \frac{3}{4} = 0$ 的两个实数根，求 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 的最小值．

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18. 根据以下素材，探索完成任务。

运用二次函数研究电缆架设问题
素材1	电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都可以近似地看成抛物线的形状.如图，在一个斜坡 BD上按水平距离间隔90m架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为20m（AB=CD=20m），按如图所示的方式建立平面直角坐标系（x轴在水平方向上）.点A，O，E 在同一水平线上，经测量，AO=60m，斜坡BD的坡比为1：10.
素材2	若电缆下垂的安全高度是13.5m，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5m时，符合安全要求，否则存在安全隐患. （说明：直线GH⊥x轴且分别与直线BD和抛物线相交于点H，G.点G 距离坡面的铅直高度为GH 的长）
任务1	确定电缆形状	求点 D 的坐标及下垂电缆的抛物线的函数表达式.
任务2	判断电缆安全	上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由.
任务3	探究安装方法	工程队想在坡比为1：8的斜坡上架设电缆，两个塔柱的高度仍为20m，电缆抛物线的形状与任务1相同.若电缆下垂恰好符合安全高度要求，则两个塔柱的水平距离应为多少米？

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【培优版】2024-2025学年浙教版数学九上1.3二次函数的性质 同步练习

一、选择题

二、填空题

三、综合题

四、实践探究题

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