【提升版】2024-2025学年浙教版数学九上1.3二次函数的性质同步练习

试卷更新日期：2024-07-24 类型：同步测试

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一、选择题

1. 定义运算： $a \otimes b = (a + 2 b) (a - b)$ ，例如 $4 \otimes 3 = (4 + 2 \times 3) (4 - 3)$ ，则函数 $y = (x + 1) \otimes 2$ 的最小值为（）

A、 $- 21$ B、 $- 9$ C、 $- 7$ D、 $- 5$

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2. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 a x + a (a \neq 0)$ 的图象经过 $A (\frac{a}{2}, y_{1}), B (3 a, y_{2})$ 两点，则下列判断正确的是（）

A、可以找到一个实数 $a$ ，使得 $y_{1} > a$ B、无论实数 $a$ 取什么值，都有 $y_{1} > a$ C、可以找到一个实数 $a$ ，使得 $y_{2} < 0$ D、无论实数 $a$ 取什么值，都有 $y_{2} < 0$

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3. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $(3, 0)$ ，对称轴是直线 $x = 1$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a b c > 0$ B、 $a + b + c = 0$ C、 $b^{2} - 4 a c < 0$ D、点 $(- 1, 0)$ 在函数图象上

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4. 函数y=kx²﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）

A、k＜3 B、k＜3且k≠0 C、k≤3且k≠0 D、k≤3

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5. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （a为常数，且 $a < 0$ ）的图象上有四点 $A (- 1, y_{1})$ ， $B (3, y_{1})$ ， $C (2, y_{2})$ ， $D (- 2, y_{3})$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{2} = y_{3} < y_{1}$

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6. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 $h$ （单位： $m$ ）与小球的运动时间 $t$ （单位： $s$ ）之间的关系式是 $h = 30 t - 5 t^{2} (0 \leq t \leq 6)$ ．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要 $6 s$ ；
②小球运动中的高度可以是 $30 m$ ；
③小球运动 $2 s$ 时的高度小于运动 $5 s$ 时的高度．
其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 二次函数的 $y$ 与 $x$ 的部分对应值如表，则下列判断中正确的是（）

$x$

…

0

1

3

4

…

$y$

…

2

4

2

－2

…

A、抛物线开口向上 B、 $y$ 的最大值为4 C、当 $x > 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小 D、当 $0 < x < 2$ 时， $2 < y \leq \frac{17}{4}$

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8. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象如图所示，对称轴为直线 $x = - 1$ . 则下列结论中：
① $\frac{b}{c} > 0$
② $a m^{2} + b m ⩽ a - b$ ( $m$ 为任意实数)
③ $3 a + c < 1$
④若 $M (x_{1}, y) 、 N (x_{2}, y)$ 是抛物线上不同的两个点，则 $x_{1} + x_{2} ⩽ - 3$ . 其中正确的结论有（）

A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个

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二、填空题

9. 已知二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ ，当 $- 1 \leq x \leq 2$ 时， $y$ 的取值范围为.

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10. 规定：两个函数 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”.例如：函数 $y_{1} = 2 x + 2$ 与 $y_{2} = - 2 x + 2$ 的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”.若函数 $y = k x^{2} + 2 (k - 1) x + k - 3$ （k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为.

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11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ 是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 上任意两点，设抛物线的对称轴为 $x = t$ .若对于 $0 < x_{1} < 1$ ， $1 < x_{2} < 2$ ，都有 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $t$ 的取值范围.

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12. 已知 $A (m, 0)$ ， $B (- 4, 0)$ 为x轴上两点， $P (x_{1}, y_{1})$ ， $Q (x_{2}, y_{2})$ 为二次函数 $y = x^{2} - m x + m + 2$ 图象上两点，当 $x < 1$ 时，二次函数y随x增大而减小，若 $- 2 \leq x_{1} \leq m + 1$ ， $- 2 \leq x_{2} \leq m + 1$ 时， $| y_{1} - y_{2} | \leq 16$ 恒成立，则A、B两点的最大距离为．

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三、解答题

13. 已知二次函数 $y = a x^{2} - (a - 2) x + 1 (a \neq 0)$ .

(1)、若函数图象经过点 $(3, 1)$ ，求抛物线的对称轴；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大；当 $x \leq - 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减少，求 $a$ 的取值范围.

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14. 设二次函数 $y = a x^{2}$ $+ b x + 1 （ a \neq 0 ， b$ 是实数 $）$ ．已知函数值 $y$ 和自变量 $x$ 的部分对应取值如下表所示：

$x$

$\dots$
-1
0
1
2
3

$\dots$

$y$

$\dots$

$m$
1

$n$
1

$p$

$\dots$

(1)、若 $m = 4$ ．
①求二次函数的表达式．
②写出一个符合条件的 $x$ 的取值范围，使得 $y$ 随 $x$ 的增大而减小．

(2)、若在 $m ， n ， p$ 这三个实数中，只有一个是正数，求 $a$ 的取值范围．

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四、实践探究题

15. 课堂上，数学老师组织同学们围绕关于 $x$ 的二次函数 $y = x^{2} + 2 a x + a - 3$ 的最值问题展开探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.

(1)、老师给出 $a = - 4$ ，求二次函数 $y = x^{2} + 2 a x + a - 3$ 的最小值.
①请你写出对应的函数解析式；
②求当 $x$ 取何值时，函数 $y$ 有最小值，并写出此时的 $y$ 值；
【举一反三】老师给出更多 $a$ 的值，同学们即求出对应的函数在 $x$ 取何值时， $y$ 的最小值. 记录结果，并整理成下表：

$a$

$\dots$
-4
-2
0
2
4

$\dots$

$x$

$\dots$

$*$
2
0
-2
-4

$\dots$
$y$ 的最小值
$\dots$
$*$
-9
-3
-5
-15
$\dots$
注： * 为②的计算结果.
【探究发现】老师： “请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现.”甲同学： “我发现，老师给了 $a$ 值后，我们只要取 $x = - a$ ，就能得到 $y$ 的最小值.”
乙同学： “我发现， $y$ 的最小值随 $a$ 值的变化而变化，当 $a$ 由小变大时， $y$ 的最小值先增大后减小，所以我猜想 $y$ 的最小值中存在最大值 ”

(2)、请结合函数解析式 $y = x^{2} + 2 a x + a - 3$ ，解释甲同学的说法是否合理?

(3)、你认为乙同学的猜想是否正确? 若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由.

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五、综合题

16. 如图，一次函数 $y = a x + b (a \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于 $A (m, 1)$ ， $B (2, - 3)$ 两点，与y轴交于点C ．

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、根据图象直接写出关于x的不等式 $a x + b > \frac{k}{x}$ 的解集；

(3)、设D为线段AC上的一个动点（不包括A ， C两点），过点D作 $D E ∥ y$ 轴交反比例函数的图象于点E ，当△CDE的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值．

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17. 如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x²+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x²+bx+c上一动点（不与A、D重合）．

(1)、求抛物线和直线l的解析式；

(2)、当点P在直线l上方的抛物线上时，连接PA、PD，当△PAD的面积最大时，求P点的坐标.

(3)、设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C、M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

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$a$	$\dots$	-4	-2	0	2	4	$\dots$
$x$	$\dots$	$*$	2	0	-2	-4	$\dots$
$y$ 的最小值	$\dots$	$*$	-9	-3	-5	-15	$\dots$

$x$	…	0	1	3	4	…
$y$	…	2	4	2	－2	…

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二、填空题

三、解答题

四、实践探究题

五、综合题

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