【培优版】2024-2025学年浙教版数学九上1.2二次函数的图象同步练习

试卷更新日期：2024-07-24 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = b x + c$ 的图象和反比例函数 $y = \frac{a - b + c}{x}$ 的图象在同一坐标系中大致为（）

A、 B、 C、 D、

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2. 抛物线 $y = - 2 x^{2} + 1$ 通过变换可以得到抛物线 $y = - 2 {(x + 1)}^{2} + 3$ ，以下变换过程正确的是（）

A、先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B、先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C、先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D、先向左平移1个单位，再向上平移2个单位

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3. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 满足以下三个条件：① $\frac{b^{2}}{a} > 4 c$ ， ② $a - b + c < 0$ ， ③ $b < c$ ，则它的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a ， b ， c为常数）的对称轴为 $x = - 2$ ，过点 $(1 ， - 2)$ 和点 $(x_{0} ， y_{0})$ ，且 $c > 0$ ．有下列结论：① $a > 0$ ；②对任意实数m都有： $a m^{2} + b m \leq 4 a - 2 b$ ；③ $16 a + c > 4 b$ ；④若 $x_{0} > - 4$ ，则 $y_{0} > c$ ．其中正确结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 若抛物线 $M ： y = x^{2} + (3 m - 1) x - 5$ 与抛物线 $M^{^{'}} ： y = x^{2} - 6 x - n + 1$ 关于直线 $x = 1$ 对称，则 $m ， n$ 的值分别为（）

A、 $m = - \frac{11}{3}$ ， $n = - 2$ B、 $m = \frac{1}{3}$ ， $n = - 2$ C、 $m = \frac{1}{3}$ ， $n = 2$ D、 $m = 1$ ， $n = - 2$

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6. 如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y=ax²的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（）

A、 $\frac{1}{9}$ ≤a≤3 B、 $\frac{1}{9}$ ≤a≤1 C、 $\frac{1}{3}$ ≤a≤3 D、 $\frac{1}{3}$ ≤a≤1

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7. 已知点(x₀ ， y₀)是二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象上一个定点，而(m ， n)是二次函数图象上动点，若对任意的实数m ，都有a(y₀－n)≤0，则以x₀为根的关于t的方程是（）

A、at－2b＝0 B、at＋2b＝0 C、2at－b＝0 D、2at＋b＝0

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8. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图像如图，有下列5个结论：
① $a b c > 0$ ；② $b < a + c$ ；③ $4 a + 2 b + c > 0$ ；④ $2 c < 3 b$ ；⑤ $a + b > m (a m + b)$ （ $m \neq 1$ 的实数），其中正确的结论个数有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题

9. 已知二次函数 $y = 2 x^{2} + b x + c$ 可以写成 $y = 2 {(x - h)}^{2} - 3$ ，则 $b + c$ 的取值范围是．

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10. 已知二次函数 $y = (x - 2 a)^{2} + (a - 1)$ （a为常数）．

(1)、若 $a = 2$ ，则二次函数的顶点坐标为；

(2)、当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当 $a = - 1 ， a = 0 ， a = 1 ， a = 2$ 时，二次函数的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是．

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11. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图，①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1），其中结论正确的有（填序号）

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12. 如图， $R t Δ O A B$ 的顶点 $A (- 2 ， 4)$ 在抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x$ 上，将 $R t Δ O A B$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90^{°}$ 得到 $Δ O C D$ ，现将抛物线沿 $y$ 轴向上平移 $m (m > 0)$ 个单位，使得抛物线与边 $C D$ 只有一个公共点 $P$ ，则 $m$ 的取值范围为.

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三、综合题

13. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - \frac{1}{a}$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，将点 $A$ 向右平移 $2$ 个单位长度，得到点 $B$ ，点 $B$ 在抛物线上。

(1)、求点 $B$ 的坐标 $($ 用含 $a$ 的式子表示 $)$ ；

(2)、求抛物线的对称轴；

(3)、已知点P( $\frac{1}{2}$ ， $- \frac{1}{a}$ )， $Q (2 ， 2)$ ，若抛物线与线段 $P Q$ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 $a$ 的取值范围．

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14. 如图，在直角坐标系 $x O y$ 中，二次函数 $y = x^{2} + (2 k - 1) x + k + 1$ 的图像与 $x$ 轴相交于 $O$ ， $A$ 两点．

(1)、求这个二次函数的解析式；

(2)、在这条抛物线的对称轴右边的图像上有一点 $B$ ，使 $△ A O B$ 的面积等于6，求点 $B$ 的坐标；

(3)、对于（2）中的点 $B$ ，在此抛物线上是否存在点 $P$ ，使 $∠ P O B = 9 0^{∘}$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

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15. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $F_{1} ： y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 3 ， 0)$ 和点 $B (1 ， 0)$ .
图1 图2 图3

(1)、求抛物线 $F_{1}$ 的表达式；

(2)、如图2，抛物线 $F_{2}$ 与抛物线 $F_{1}$ 关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线 $F_{2}$ 的表达式为；

(3)、如图3，将（2）中抛物线 $F_{2}$ 向上平移m个单位，得到抛物线 $F_{3}$ ，当抛物线 $F_{3}$ 经过点A时，求m的值.

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四、实践探究题

16. 如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上横、纵坐标均为整数的点称为“好点”.P为抛物线 $y = - （ x - m ）^{2} + m + 2$ 的顶点.

(1)、当m=0时，求该拋物线下方（包括边界）的“好点”个数.

(2)、当m=3时，求该抛物线上的“好点”的坐标.

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一、选择题

二、填空题

三、综合题

四、实践探究题

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