湖南省株洲市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-07-06 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设 $z_{1} = 2 + i$ ， $z_{2} = 3 + 4 i$ ，则 $|\frac{z_{1}}{z_{2}}| =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $5 \sqrt{5}$

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2. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为2，用斜二测画法画出它的直观图，则它的直观图的面积为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、4 C、2 D、 $16 \sqrt{2}$

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3. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 $A =$ “第一枚硬币正面朝上”，事件 $B =$ “第二枚硬币反面朝上”，则下列结论正确的是（）

A、A与B相等 B、A与B互斥 C、A与B的样本点个数不相等 D、A与B相互独立

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4. 已知 $θ$ 为第三象限角，向量 $\vec{a} = (\sin θ, 1)$ ， $\vec{b} = (\cos θ, 2)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b} + 2 \vec{a}$ 共线，则 $\sin θ$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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5. 设m、 $n$ 为空间中两条不同直线， $α 、 β$ 为空间中两个不同平面，下列命题正确的是（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $m$ 不垂直于 $α$ ， $n \subset α$ ，则 $m$ 必不垂直于 $n$ C、若 $m / / α$ ， $α // β$ ，则 $m / / β$ D、若 $m$ 、 $n$ 是异面直线， $m \subset α$ ， $m / / β$ ， $n \subset β$ ， $n // α$ ，则 $α / / β$

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6. 端午节是每年的五月初五，是我国汉族人民的传统节日，这一天必不可少的活动逐渐演变为吃粽子，赛龙舟，熏艾叶，挂菖蒲等.某学校组织学生进行包粽子比赛，包法有很多种，最常见的是三角粽和四角粽.已知小明只会这两种包法，每次包三角粽的概率为 $\frac{3}{4}$ ，每次包四角粽的概率为 $\frac{1}{4}$ .包一个三角粽记1分，包一个四角粽记2分，每次的包法互不影响，则小明恰好获得3分的概率为（）

A、 $\frac{51}{64}$ B、 $\frac{41}{64}$ C、 $\frac{27}{64}$ D、 $\frac{6}{16}$

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7. 设 $△ A B C$ 的外心为O，且 $2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ， $| \vec{A C} | = | \vec{A O} |$ ，则向量 $\vec{C A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{4} \vec{B C}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{B C}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$

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8. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a = c - 2 a \cos B$ ，则 $\frac{12 \sin^{2} A}{4 \sin A - \sin C}$ 的取值范围为（）

A、 $[2 \sqrt{2}, + \infty)$ B、 $(2 \sqrt{2}, + \infty)$ C、 $[2 \sqrt{2}, 3]$ D、 $(2 \sqrt{2}, 3)$

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二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.

9. 已知 $z = 3 - 2 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，下列说法正确的是（）

A、 $z = 3 - 2 i$ 的实部为 $3$ ，虚部为 $- 2 i$ B、 $p = - 6$ C、 $q = 13$ D、若复数 $z_{1}$ 满足 $|z_{1} + z| = 1$ ，则 $|z_{1}|$ 的最大值为 $1 + \sqrt{13}$

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10. 已知函数 $f (x) = \sin 2 x - \sqrt{3} \cos 2 x + 3$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的单调递增区间是 $[- \frac{π}{12} + k π, \frac{5}{12} π + k π]$ ， $k \in Z$ B、 $y = f (x)$ 的图象可由函数 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位，再向上平移3个单位得到 C、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{11 π}{12}$ 对称 D、当 $x \in [- \frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ 时， $f (x)$ 的取值范围是 $[1, 5]$

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11. 在圆锥SO中， $C$ 是母线SA上靠近点 $S$ 的三等分点， $S A = l$ ，底面圆O的半径为 $r$ ，圆锥SO的侧面积为 $12π$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $r = 3$ 时，过顶点 $S$ 和两条母线的截面三角形的最大面积为 $3 \sqrt{7}$ B、当 $l = 6$ 时，从点 $A$ 绕圆锥侧面一周到点 $C$ 的最小长度为 $2 \sqrt{13}$ C、当 $l = 6$ 时，圆锥SO的内切球的表面积为 $8 π$ D、当 $l = 6$ 时，棱长为 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ 的正四面体可以在圆锥SO内任意转动

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 样本数据17，13，22，16，11，20，14，24的 $80 %$ 分位数为.

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13. 如图，“六芒星”是由两个边长为 $3 cm$ 的正三角形组成，中心重合于点O，且三组对边分别平行，现将三角形 $D E F$ 往垂直于平面 $A B C$ 的方向移动 $2 cm$ ，则此时空间几何体 $A B C D E F$ 的外接球的表面积为 ${cm}^{2}$ .

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14. 设函数 $f (x) = (x - a) \ln (x + b)$ ，若 $f (x) \geq 0$ ，且 $a b > 0$ ，则 $\frac{1}{a b} + \frac{b}{a}$ 的最小值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 小米在2024年推出SU7汽车，创始人雷军为了了解广大客户对小米SU7的评价，令销售部随机抽取200名客户进行了问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按 $[20, 30)$ ， $[30, 40)$ ， $[40, 50)$ $[50, 60)$ ， $[60, 70]$ 分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图.

(1)、估计样本数据中用户年龄的众数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、销售部从年龄在 $[30, 40)$ ， $[60, 70)$ 内的样本中按比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率.

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16. 如图，在直角梯形ABCD中， $A D ⊥ A B$ ， $A D ⊥ D C$ ， $A D = A B = 2$ ， $D C = 2 A B$ ， $M$ 为AD的中点， $N$ 为DC上靠近 $D$ 的四等分点，直线MC与BN交于点 $P$ .

(1)、求 $∠ C P N$ 的余弦值；

(2)、若 $\vec{C P} = λ \vec{C M}$ ，求实数 $λ$ 的值.

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17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\vec{m} = (a, 2 b + c)$ ， $\vec{n} = (\cos C, \cos A)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ， $D$ 为线段 $B C$ 上一点.

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $A D$ 为角 $A$ 的角平分线， $a = 7$ ， $△ A B C$ 的周长为15，求 $A D$ 的长.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $P A = A D = 2$ ， $E$ 为线段 $P D$ 上的动点.

(1)、若 $E$ 为 $P D$ 的中点，求三棱锥 $D - A E C$ 的体积；

(2)、若 $\vec{E D} = 2 \vec{P E}$ ，问 $A B$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $P M //$ 平面 $A E C$ ？若存在，请指明点 $M$ 的位置；若不存在，请说明理由；

(3)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成锐二面角的余弦值.

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19. 已知函数 $f (x) = a \ln x - \frac{x + 1}{x - 1}$ ， $a > 0$ ．

(1)、写出 $f (x)$ 的单调区间，并用单调性的定义证明；

(2)、若 $f (e) = 0$ ，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ ；

(3)、证明： $f (x)$ 恰有两个零点m， $n (m < n)$ ，且 $m + n > 2$ ．

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