重庆市长寿区八校2023-2024学年高二下学期7月检测（B）数学试题

试卷更新日期：2024-07-16 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 曲线 $y = \frac{1}{x}$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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2. 已知 $a = \frac{l n \sqrt{2}}{4}$ ， $b = \frac{1}{e^{2}}$ ， $c = \frac{l n \sqrt{3}}{3}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $a < b < c$

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3. 用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数中，个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为（）

A、48 B、96 C、60 D、120

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足： $2 S_{n} = (n + 1) a_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} = 1$ ，则 ${(a_{54} + 1)}^{55}$ 被8整除的余数为（）

A、4 B、6 C、7 D、5

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5. 设随机变量 $X$ 的概率分布列为
$X$
1
2
3
4
$P$
$\frac{1}{3}$
$m$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{6}$
则 $P (| X - 3 | = 1) =$ （）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6. 已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布，有下列四个命题：
甲： $P (ξ < a - 1) = P (ξ > 1 + a)$    乙： $P (ξ \leq a) = \frac{1}{2}$
丙： $P (ξ < a - 2) > P (ξ > 3 + a)$    丁： $P (a - 1 < ξ < 3 + a) < P (a < ξ < 4 + a)$
若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为（   ）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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7. 在对一组成对样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ 进行分析时，从已知数据了解到预报变量 $y$ 随着解释变量 $x$ 的增大而减小，且大致趋于一个确定的值．则下列拟合函数中符合条件的是（）

A、 $y = k x + b (k > 0)$ B、 $y = - k \ln x + b (k > 0)$ C、 $y = - k \sqrt{x} + b (k > 0)$ D、 $y = k e^{- x} + b (k > 0)$

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8. 设某中学的女生体重 $y$ （单位： $kg$ ）与身高 $x$ （单位： $cm$ ）具有线性相关关系，根据一组样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, n)$ ，用最小二乘法建立的经验回归方程为 $\hat{y} = 0.84 x - 86.71$ .若该中学女生的平均身高为 $160 cm$ ，则该中学女生的平均体重的估计值是（）

A、 $47.69 kg$ B、 $48.69 kg$ C、 $57.69 kg$ D、 $58.69 kg$

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二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．

9. 设 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ 是变量 $x$ 和 $y$ 的 $n (n \geq 5, n \in N^{*})$ 个样本点，由这些样本点通过最小二乘法得到线性回归直线方程 $l : \hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，下列结论正确的是（）

A、 $y$ 与 $x$ 正相关的充要条件是 $\hat{b} > 0$ B、直线 $l$ 过点 $(\bar{x}, \bar{y})$ C、 $y$ 与 $x$ 之间的相关系数为 $\hat{b}$ D、当 $x$ 增大一个单位时， $\hat{y}$ 增大 $\hat{b}$ 个单位

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10. 已知集合 $A, B$ 满足 $B = \{(x, y, z) ∣ x + y + z = 11, x, y, z \in A\}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $A = \{- 2, 0, 1, 13\}$ ，则 $B$ 中的元素的个数为1 B、若 $A = \{x ∣ x = 2 k + 1, k \in N\}$ ，则 $B$ 中的元素的个数为15 C、若 $A = N_{+}$ ，则 $B$ 中的元素的个数为45 D、若 $A = N$ ，则 $B$ 中的元素的个数为78

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{e l n x}{x} + \frac{x}{e l n x + x}$ 的图象与直线 $y = k (k \in R)$ 有三个交点，记三个交点的横坐标分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、存在实数 $k$ ，使得 $x_{1} = 1$ B、 $x_{3} > e$ C、 $k \in (1 ， \frac{3}{2})$ D、 ${(\frac{l n x_{1}}{x_{1}} + \frac{1}{e})}^{2} (\frac{l n x_{2}}{x_{2}} + \frac{1}{e}) (\frac{l n x_{3}}{x_{3}} + \frac{1}{e})$ 为定值

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知函数 $f (x) = e^{x} + 2 f^{'} (3) x - 1$ ，则 $\lim_{x \to 0} \frac{f (3 + x) - f (3)}{x} =$ ， $f (x)$ 的最小值为．

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13. 某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为： $f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(x - 85)}^{2}}{2 σ^{2}}}$ ，且 $P (70 \leq X \leq 100) = 0.7$ ，若参加此次联考的学生共有8000人，则数学成绩超过100分的人数大约为．

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14. 某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润，预测第8年该国企的生产利润约为千万元．
$(\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x})$
年号 $x$
1
2
3
4
5
年生产利润 $y$ （单位：千万元）
0.7
0.8
1
1.1
1.4

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. 如图，在一个 $3 \times 3$ 的网格中填齐1至9中的所有整数，每个格子只填一个数字，已知中心格子的数字为 $5$ ．

(1)、求满足第二横排、第二竖排的 $3$ 个数字之和均为 $15$ 的不同的数字填写方案种数；

(2)、求满足第二横排的数字从左到右依次增大，第二竖排的数字从上到下依次增大的不同的数字填写方案种数．

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16. 已知二项式 ${(x + 3 x^{2})}^{n}$ ．

(1)、若 $x = 1$ ， $n = 2024$ ，求二项式的值被7除的余数；

(2)、若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项．

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17. 已知函数 $f (x) = l n (x - 3) - a x (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(5, + \infty)$ 上没有极值点，求 $a$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = ln x + \frac{x^{2}}{2} - a x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、已知 $f (x)$ 有两个极值点.
（ⅰ）求 $a$ 的取值范围；
（ⅱ）若 $f (x)$ 的极小值小于 $ln 2 - 3$ ，求 $f (x)$ 的极大值的取值范围.

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19. 混凝土具有原材料丰富、抗压强度高、耐久性好等特点，是目前使用量最大的土木建筑材料．抗压强度是混凝土质量控制的重要技术参数，也是实际工程对混凝土要求的基本指标．为了解某型号某批次混凝土的抗压强度（单位： $MPa$ ）随龄期（单位：天）的发展规律，质检部门在标准试验条件下记录了10组混凝土试件在龄期 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, 10)$ 分别为 $2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 14, 17, 21$ 时的抗压强度 $y_{i}$ 的值，并对数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
$\bar{x}$
$\bar{y}$
$\bar{w}$
        $\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$
        $\sum_{i = 1}^{10} {(w_{i} - \bar{w})}^{2}$
        $\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$
        $\sum_{i = 1}^{10} (w_{i} - \bar{w}) (y_{i} - \bar{y})$
9.4
29.7
2
366
5.5
439.2
55
表中 $w_{i} = ln x_{i}, \bar{w} = \frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} w_{i}$ ．

(1)、根据散点图判断 $y = a + b x$ 与 $y = c + d ln x$ 哪一个适宜作为抗压强度 $y$ 关于龄期 $x$ 的回归方程类型？选择其中的一个模型，并根据表中数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；

(2)、工程中常把龄期为28天的混凝土试件的抗压强度 $f_{28}$ 视作混凝土抗压强度标准值．已知该型号混凝土设置的最低抗压强度标准值为 $40 MPa$ ．
（i）试预测该批次混凝土是否达标？
（ii）由于抗压强度标准值需要较长时间才能评定，早期预测在工程质量控制中具有重要的意义．经验表明，该型号混凝土第7天的抗压强度 $f_{7}$ 与第28天的抗压强度 $f_{28}$ 具有线性相关关系 $f_{28} = 1 ． 2 f_{7} + 7$ ，试估计在早期质量控制中，龄期为7天的试件需达到的抗压强度．
附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$
参考数据： $ln 2 \approx 0.69, ln 7 \approx 1.95$ ．

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年号 $x$	1	2	3	4	5
年生产利润 $y$ （单位：千万元）	0.7	0.8	1	1.1	1.4

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{w}$	$\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} {(w_{i} - \bar{w})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{10} (w_{i} - \bar{w}) (y_{i} - \bar{y})$
9.4	29.7	2	366	5.5	439.2	55

$X$	1	2	3	4
$P$	$\frac{1}{3}$	$m$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{6}$