宁夏2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-07-23 类型：中考真卷

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一、选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1. 下列各数中，无理数是（）

A、-1 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\sqrt{4}$ D、 $π$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $x^{3} + x^{2} = x^{5}$ B、 $2^{- 1} = \frac{1}{2}$ C、 $(3 x)^{2} = 6 x^{2}$ D、 $- 5 - 3 = - 2$

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3. 小明与小亮要到科技馆参观.小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（）

A、南偏东 $6 0^{°}$ 方向 B、北偏西 $6 0^{°}$ 方向 C、南偏东 $5 0^{°}$ 方向 D、北偏西 $5 0^{°}$ 方向

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4. 某班24名学生参加一分钟跳绳测试，成绩(单位：次)如下表：
成绩
171及以下
172
173
174
175及以上
人数
3
8
6
5
2
则本次测试成绩的中位数和众数分别是（）

A、172和172 B、172和173 C、173和172 D、173和173

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5. 用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（）

A、①号位置 B、②号位置 C、③号位置 D、④号位置

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6. 已知 $| 3 - a | = a - 3$ ，则 $a$ 的取值范围在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子.已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍.设乙每小时做 $x$ 个盒子，根据题意可列方程（）

A、 $\frac{4}{x} - \frac{6}{2 x} = 10$ B、 $\frac{6}{x} - \frac{4}{2 x} = 10$ C、 $\frac{4}{x} - \frac{6}{2 x} = \frac{10}{60}$ D、 $\frac{6}{x} - \frac{4}{2 x} = \frac{10}{60}$

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8. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 9 0^{°}, A B = 3 c m, B C = 2 c m$ ，点 $A$ 在直线 $l_{1}$ 上，点B，C在直线 $l_{2}$ 上， $l_{1} / / l_{2}$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发沿直线 $l_{1}$ 以 $1 c m / s$ 的速度向右运动，设运动时间为 $t s$ .
下列结论：
①当 $t = 2 s$ 时，四边形ABCP的周长是10cm；
②当t=4s时，点 $P$ 到直线 $l_{2}$ 的距离等于5cm；
③在点 $P$ 运动过程中， $△ P B C$ 的面积随着 $t$ 的增大而增大；
④若点D，E分别是线段PB，PC的中点，在点 $P$ 运动过程中，线段DE的长度不变.
其中正确的是（）

A、①④ B、②③ C、①③ D、②④

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二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)

9. 地球上水（包括大气水、地表水和地下水）的总体积约为14.2亿km³.请将数据1420000000用科学记数法表示为.

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10. 为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：
移植总数 $n$
40
150
300
500
700
1000
1500
成活数 $m$
35
134
271
451
631
899
1350
成活的频率 $\frac{m}{n}$
0.875
0.893
0.903
0.902
0.901
0.899
0.900
估计这种幼苗移植成活的概率是(结果精确到0.1).

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11. 某水库警戒水位为29.8米，取警戒水位作为0点.如果水库水位为31.4米记作+1.6米，那么水库水位为28米记作米.

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12. 若二次函数 $y = 2 x^{2} - x + m$ 的图象与 $x$ 轴有交点，则 $m$ 的取值范围是.

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13. 如图，在正五边形ABCDE的内部，以CD边为边作正方形CDFH，连接BH，则 $∠ B H C =$ °.

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14. 在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则该直线的解析式可能为(写出一个即可).

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15. 观察下列等式：
第1个： $1 \times 2 - 2 = 2^{2} \times 0$
第2个： $4 \times 3 - 3 = 3^{2} \times 1$
第3个： $9 \times 4 - 4 = 4^{2} \times 2$
第4个： $16 \times 5 - 5 = 5^{2} \times 3$
……
按照以上规律，第 $n$ 个等式为.

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16. 如图1是三星堆遗址出土的陶盉(hè)，图2是其示意图.已知管状短流 $A B = 2 c m$ ，四边形BCDE是器身， $B E / / C D, B C = D E = 11 c m, ∠ A B E = 12 0^{°}, ∠ C B E = 8 0^{°}$ .器身底部CD距地面的高度为21.5cm，则该陶盉管状短流口 $A$ 距地面的高度约为cm(结果精确到0.1cm).(参考数据： $s i n 8 0^{°} \approx 0.9848, c o s 8 0^{°} \approx 0.1736, t a n 8 0^{°} \approx 5.6713, \sqrt{3} \approx 1.732$ )

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三、解答题(本题共10小题,其中17~22题每小题6分,23、24题每小题8分,25、26题每小题10分,共72分)

17. 解不等式组 ${\begin{cases} 2 x - 1 ＜ - 9 ， \\ 1 - x \geq \frac{2 + x}{3} . \end{cases}$

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18. 先化简，再求值：
$(1 - \frac{1}{a + 1}) \cdot \frac{a^{2} - 1}{a}$ ，其中 $a = 1 - \sqrt{2}$ .

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是边BC的中点，以AB为直径的 $⊙ O$ 经过点 $D$ ，点 $P$ 是边AC上一点(不与点A，C重合).请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法.
⑴过点A作一条直线，将 $△ A B C$ 分成面积相等的两部分；
⑵在边AB上找一点 $P^{^{'}}$ ，使得 $B P^{^{'}} = C P$ .

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20. 中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力.某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件.

(1)、某天这两种工艺品的销售额为1175元，求这两种工艺品各销售多少件?

(2)、中国的天问一号探测器、奋斗者号潜水器等科学技术世界领先，国人自豪感满满，相关纪念品深受青睐.该店设立了一个如图所示可自由转动的转盘(转盘被分为5个大小相同的扇形).凡顾客在本店购买一件工艺品，就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，顾客即可免费获得指针指向区域的纪念品一个(指针指向两个扇形的交线时，视为指向右边的扇形).一顾客在该店购买了一件工艺品，求该顾客获得纪念品的概率是多少?

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21. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点M，N在AD边上， $A M = D N$ ，连接CM并延长交BA的延长线于点 $E$ ，连接BN并延长交CD的延长线于点F.求证： $A E = D F$ .
小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理.

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22. 尊老敬老是中华民族的传统美德，爱老是全社会的共同责任.为了解某地区老年人的生活状况，随机抽取部分65岁及以上的老年人进行了一次问卷调查.

调查问卷

以下问题均为单选题，请根据实际情况选择(例： $65 ~ 70$ 岁表示大于等于65岁同时小于70岁).

1.您的年龄范围( )

A. $65 ~ 70$ 岁 B. $70 ~ 75$ 岁 C. $75 ~ 80$ 岁 D.80岁及以上

2.您的养老需求（）

A.医疗服务 B.社交娱乐 C.健身活动 D.餐饮服务 E.其他

3.您的健康状况( )

A.良好 B.一般 C.较差

将调查结果绘制成如下统计图表.请阅读相关信息，解答下列问题：

健康状况统计表

	$65 ~ 70$ 岁	$70 ~ 75$ 岁	$75 ~ 80$ 岁	80岁及以上
良好	65%	58%	50%	40%
一般	25%	30%	35%	40%
较差	10%	12%	15%	20%

(1)、参与本次调查的老年人共有人，有“医疗服务”需求的老年人有人；

(2)、已知该地区65岁及以上的老年人人口总数约为6万人，估计该地区健康状况较差的老年人人口数；

(3)、根据以上信息，针对该地区老年人的生活状况，你能提出哪些合理化的建议?(写出一条即可)

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23. 在同一平面直角坐标系中，函数 $y = 2 x + 1$ 的图象可以由函数 $y = 2 x$ 的图象平移得到.依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究.
【动手操作】
列表：
$x$
…
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
…
$y = \frac{2}{x}$
…
$- \frac{2}{5}$
$- \frac{1}{2}$
$- \frac{2}{3}$
-1
-2
2
1
$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{2}{5}$
…

$x$
…
-5
-4
-3
-2
$- \frac{3}{2}$
$- \frac{1}{2}$
0
1
2
3
…
$y = \frac{2}{x + 1}$
…
$- \frac{1}{2}$
$- \frac{2}{3}$
-1
-2
-4
4
2
1
$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{2}$
…

(1)、描点连线：在已画出函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象的坐标系中画出函数 $y = \frac{2}{x + 1}$ 的图象.

(2)、【探究发现】
①将反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象向平移个单位长度得到函数 $y = \frac{2}{x + 1}$ 的图象.
②上述探究方法运用的数学思想是A.整体思想B.类比思想C.分类讨论思想

(3)、【应用延伸】
①将反比例函数 $y = - \frac{1}{x}$ 的图象先，再得到函数 $y = - \frac{1}{x - 2} - 1$ 的图象.
②函数 $y = - \frac{1}{x - 2} - 1$ 图象的对称中心的坐标为.

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24. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，AB为直径，点 $D$ 是 $△ A B C$ 的内心，连接AD并延长交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $⊙ O$ 的切线交AB的延长线于点 $F$ .

(1)、求证： $B C / / E F$ ；

(2)、连接CE，若 $⊙ O$ 的半径为 $2, s i n ∠ A E C = \frac{1}{2}$ ，求阴影部分的面积(结果用含 $π$ 的式子表示).

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25. 综合与实践如图1，在 $△ A B C$ 中，BD是 $∠ A B C$ 的平分线，BD的延长线交外角 $∠ C A M$ 的平分线于点 $E$ .

(1)、【发现结论】
结论1： $∠ A E B =$ $∠ A C B$ ；
结论2：当图1中 $∠ A C B = 9 0^{°}$ 时，如图2所示，延长BC交AE于点 $F$ ，过点 $E$ 作AF的垂线交BF于点 $G$ ，交AC的延长线于点 $H$ .则AE与EG的数量关系是.

(2)、【应用结论】
求证： $A H = G F$ ；

(3)、在图2中连接FH，AG，延长AG交FH于点 $N$ ，补全图形，求证： $F N = N H + \sqrt{2} A E$ .

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26. 抛物线 $y = a x^{2} - \frac{3}{2} x - 2$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0), B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 是第四象限内抛物线上的一点.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，过 $P$ 作 $P D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，交直线BC于点 $E$ .设点 $D$ 的横坐标为 $m$ ，当 $P E = \frac{\sqrt{5}}{2} B E$ 时，求 $m$ 的值；

(3)、如图2点 $F (1, 0)$ ，连接CF并延长交直线PD于点 $M$ ，点 $N$ 是 $x$ 轴上方抛物线上的一点，在(2)的条件下， $x$ 轴上是否存在一点 $H$ ，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形.若存在，直接写出点 $H$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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移植总数 $n$	40	150	300	500	700	1000	1500
成活数 $m$	35	134	271	451	631	899	1350
成活的频率 $\frac{m}{n}$	0.875	0.893	0.903	0.902	0.901	0.899	0.900

$x$	…	-5	-4	-3	-2	-1	1	2	3	4	5	…
$y = \frac{2}{x}$	…	$- \frac{2}{5}$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{2}{3}$	-1	-2	2	1	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{5}$	…

$x$	…	-5	-4	-3	-2	$- \frac{3}{2}$	$- \frac{1}{2}$	0	1	2	3	…
$y = \frac{2}{x + 1}$	…	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{2}{3}$	-1	-2	-4	4	2	1	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{2}$	…

成绩	171及以下	172	173	174	175及以上
人数	3	8	6	5	2