河南省三门峡市卢氏县第一高级中学2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题

试卷更新日期：2024-07-18 类型：期末考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若复数 $z$ 满足 $\frac{1 - z}{z - 3} = i, i$ 为虚数单位，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 用斜二测画法作一个边长为 $6$ 的正方形，则其直观图的面积为( )

A、 $36$ B、 $18 \sqrt{2}$ C、 $9 \sqrt{2}$ D、 $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$

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3. 已知事件A与事件B是互斥事件，则（）

A、 $P (\bar{A} \cap \bar{B}) = 0$ B、 $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ C、 $P (A) = 1 - P (B)$ D、 $P (\bar{A} \cup \bar{B}) = 1$

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4. 设m，n是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，下列命题中不正确的是（）

A、若 $m ⊥ α, m ∥ n, n ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $α ∥ β, m \subset α, m ∥ n$ ，则 $n$ $∥$ $β$ C、若m，n是两条不同的异面直线， $m ∥ α, n ∥ β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $α ∥ β$ D、若 $m ⊥ n, α ∥ β$ ，则m与 $α$ 所成的角和n与 $β$ 所成的角互余

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5. $△ A B C$ 中，设 $\vec{A B} = \vec{c}, \vec{B C} = \vec{a}, \vec{C A} = \vec{b}$ ，若 $\vec{c} \cdot (\vec{b} - \vec{c} - \vec{a}) > 0$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形 D、无法确定

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6. 如右图所示，正三棱锥 $V - A B C$ 中， $D, E, F$ 分别是 $V C, V A, A C$ 的中点， $P$ 为 $V B$ 上任意一点，则直线 $D E$ 与 $P F$ 所成的角的大小是（）

A、 $30^{°}$ B、 $60^{°}$ C、 $90^{°}$ D、随 $P$ 点的变化而变化

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7. 如图，四面体 $A B C D$ 中， $A B$ ， $B C$ ， $B D$ 两两垂直， $B C = B D = 2$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，若直线 $A B$ 与平面 $A C D$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则点 $B$ 到平面 $A C D$ 的距离为

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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8. 在 $△ A B C$ 中，已知 $a, b, c$ 分别为角 $A, B, C$ 的对边．若 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 3 \cos C$ ，且 $\cos (A - B) = - \frac{\sqrt{3}}{6}$ ，则 $\cos C =$ （）

A、 $- \frac{4 \sqrt{3}}{9}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $- \frac{4 \sqrt{3}}{9}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知复数z，下列说法正确的是（）

A、若 $z - \bar{z} = 0$ ，则z为实数 B、若 $z^{2} + {\bar{z}}^{2} = 0$ ，则 $z = \bar{z} = 0$ C、若 $|z - i| = 1$ ，则 $| z |$ 的最大值为2 D、若 $| z - i | = | z | + 1$ ，则z为纯虚数

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10. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $Q$ 为线段 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $P$ 为线段 $C C_{1}$ 上的动点（含端点），则下列结论错误的是（）

A、三棱锥 $D - D_{1} P Q$ 的体积为定值 B、 $P$ 为线段 $C C_{1}$ 的中点时，过 $D, P, Q$ 三点的平面截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面的面积为 $\frac{3 \sqrt{10}}{2}$ C、 $D P + P Q$ 的最小值为 $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ D、直线 $D P$ 与直线 $A_{1} B$ 所成角的取值范围为 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$

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11. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ， $E$ 为边 $A B$ 的中点，沿 $D E$ 将 $△ A D E$ 折起，点 $A$ 折至 $A_{1}$ 处（ $A_{1} \notin$ 平面 $A B C D$ ），若 $M$ 为线段 $A_{1} C$ 的中点，平面 $A_{1} D E$ 与平面 $D E B C$ 所成锐二面角 $α$ ，直线 $A_{1} E$ 与平面 $D E B C$ 所成角为 $β$ ，则在 $△ A D E$ 折起过程中，下列说法正确的是（）

A、存在某个位置，使得 $B M ⊥ A_{1} D$ B、 $△ A_{1} E C$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sin β = \sqrt{2} \sin α$ D、三棱锥 $A_{1} - E D C$ 体积最大时，三棱锥 $A_{1} - E D C$ 的外接球的表面积 $16 π$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知 $p$ ：向量 $\vec{a} = (- 1, 1)$ 与 $\vec{b} = (m, 2)$ 的夹角为锐角．则实数m的取值范围为．

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13. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c,$ 且 $2 a \cos B = c - a$ .当 $\frac{c + 4 a}{b}$ 取最小值时， $A =$ .

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14. 甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲胜第一局，乙胜第二局的概率为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 在 $△ A B C$ 中，已知角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $2 c cos A = 2 b - a$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $b = 3 a, A B$ 边上的中线为 $C D$ ，求 $\frac{C D}{A B}$ 的值；

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16. 从参加某环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下.

(1)、成绩在 $[80, 90)$ 内的频数、频率分别是多少?

(2)、估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、中位数；(同一组中数据用该组区间中点值作代表)

(3)、从成绩是80分及以上的学生中选两人，求他们的成绩在同一分数段的概率.

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17. 为普及抗疫知识､弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲､乙胜出的概率分别为 $\frac{5}{6}$ ， $\frac{3}{5}$ ；在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{4}$ .甲､乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.

(1)、从甲､乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？

(2)、若甲､乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.

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18. 如图，在三棱锥V-ABC中，△VAB为等边三角形， $A C ⊥ B C$ 且 $A C = B C = 2$ ， O，M，D分别为AB，AV，BC的中点，BM，VO交于点F.

(1)、证明：AB⊥平面VOC；

(2)、在线段BM上是否存在一点E，使 $D E ∥$ 平面VOC？若存在，请指出点E的位置；若不存在，请说明理由.

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19. 如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ A D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = 2$ ，沿对角线 $B D$ 将 $△ A B D$ 折至 $△ A^{'} B D$ 的位置，记二面角 $A^{'} - B D - C$ 的平面角为 $θ$ ．

(1)、当 $θ = 90 °$ 时，求证：平面 $A^{'} C D ⊥$ 平面 $A^{'} B D$ ；

(2)、若 $E$ 为 $B C$ 的中点，当 $θ = 120 °$ 时，求二面角 $A^{'} - D E - B$ 的正切值．

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