四川省眉山市东坡区2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-07-10 类型：期末考试

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一、单选题（共计40分，每小题5分）

1. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2), \vec{b} = (x, 4)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则x＝（　　）.

A、8 B、2 C、4 D、 $\frac{1}{2}$

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2. 设复数 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ （其中 $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（　　）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 下列说法错误的是（）

A、向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{B A}$ 的长度相等 B、向量的模可以比较大小 C、共线的单位向量都相等 D、只有零向量的模等于0

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4. 要得到函数 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象，只需要将函数 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 D、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位

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5. 设 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $A + B = \frac{2 π}{3}$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ， $c = 5$ ，则 $\sin A =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 若直线l∥平面α，直线a⊂α，则（）

A、l∥a B、l与a异面 C、l与a相交 D、l与a没有公共点

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}, \vec{B D} = 2 \vec{D C}, \vec{A E} = 4 \vec{E D}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{11}{15} \vec{a} - \frac{8}{15} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{8}{15} \vec{b}$ C、 $- \frac{11}{15} \vec{a} + \frac{8}{15} \vec{b}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{8}{15} \vec{b}$

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8. 一圆台上、下底面的直径分别为4，12，高为10，则该圆台的侧面积为（）

A、 $14 \sqrt{29} π$ B、 $20 \sqrt{29} π$ C、 $18 \sqrt{29} π$ D、 $16 \sqrt{29} π$

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二、多选题（共计18分，每小题6分）

9. 下列说法正确的是（）

A、圆柱的所有母线长都相等 B、棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C、底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D、棱台的侧棱延长后必交于一点

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10. 下列等式成立的是（　　）

A、 $\cos^{2} 15^{\circ} - \sin^{2} 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sin \frac{π}{8} \cos \frac{π}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2} \sin 40^{\circ} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 40^{\circ} = \sin 70^{\circ}$ D、 $\tan 15^{\circ} = 2 - \sqrt{3}$

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11. 设函数 $f (x) = cos (ω x + φ) (ω, φ$ 为常数， $ω > 0, 0 < φ < π)$ ，若函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{7 π}{24}, \frac{π}{24}]$ 上为单调函数，且 $- f (- \frac{7 π}{24}) = f (\frac{π}{24}) = f (\frac{5 π}{24})$ ，则下列说法中正确的是（）

A、点 $(- \frac{π}{8}, 0)$ 是函数 $f (x)$ 图象的一个对称中心 B、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ C、直线 $x = - \frac{3 π}{8}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、函数 $f (x)$ 的图象可由函数 $y = cos (ω x)$ 向左平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位长度得到

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三、填空题（共计15分，每小题5分）

12. 若用与球心的距离为 $\sqrt{5}$ 的平面截球体所得的圆面半径为2，则球的半径为.

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13. 已知向量 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, 1)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量坐标为．

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14. 若方程 $\cos^{2} x + \sin x - a = 0$ 在 $x \in [\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3}]$ 有解，则 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题（共计77分，15题13分，16、17题15分，18、19题17分）

15. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, k)$ .

(1)、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求实数k的值；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，求实数k的值.

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16. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6}) - 2 c o s^{2} x ．$

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 的最大值及取得最大值时x的取值集合．

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17. 如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H是 $B C$ 的中点，O为底面中心， $∠ S H O = 60 °$ ．

(1)、求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长；

(2)、求六棱锥的表面积和体积．

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18. 在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边，已知 $c = 2$ ， $C = \frac{π}{3}$ .

(1)、若 $△ A B C$ 的面积等于 $\sqrt{3}$ ，求边 $a, b$ ；

(2)、若 $sin C + \sin (B - A) = 2 \sin 2 A$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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19. 若函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ ，则称向量 $\vec{p} = (a, b)$ 为函数 $f (x)$ 的特征向量，函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{p}$ 的特征函数．

(1)、若函数 $f_{1} (x) = \sin (π - x) + \sin (\frac{3}{2} π - x)$ ，求 $f_{1} (x)$ 的特征向量 ${\vec{p}}_{1}$ ；

(2)、若向量 $\vec{p_{2}} = (\sqrt{3}, 1)$ 的特征函数为 $f_{2} (x)$ ，求当 $f_{2} (x) = \frac{6}{5}$ ，且 $x \in (- \frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ 时 $\sin x$ 的值；

(3)、已知点 $A (- 3, 3), B (3, 11)$ ，设向量 $\vec{p_{3}} = (- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 的特征函数为 $f_{3} (x)$ ，函数 $h (x) = 4 f_{3}^{2} (x) - 2$ ．在函数 $h (x)$ 的图象上是否存在点Q，使得 $\vec{A Q} ⊥ \vec{B Q}$ ？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

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