安徽省铜陵市等三市2023-2024学年高一下学期7月期末检测数学试题

试卷更新日期：2024-07-08 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{x | y = ln (- x + 2)\}$ ， $B = \{y | y = e^{x - 1} + 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $[1, 2]$ D、 $(1, 2)$

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2. 已知复数 $z = 2 i^{2023} - i^{2022}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、1 C、 $- 2$ D、 $2 i$

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3. 已知某单位按照职工年龄分为老、中、青三组，其人数之比为 $5 : 2 : 3$ .现用分层抽样的方法从全体职工中抽取20人进行问卷调研，则抽取的职工中属于青年组的人数为（）

A、4人 B、6人 C、8人 D、10人

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4. 已知 $a, b$ 为两条不同的直线， $α, β$ 为两个不同的平面，则下列说法错误的是（）

A、若 $a // b$ ， $b \subset α, a ⊄ α$ ，则 $a // α$ B、若 $a ⊥ α, b ⊥ α$ ，则 $a // b$ C、若 $α ⊥ β, α \cap β = b, a ⊥ b$ ，则 $a ⊥ β$ D、若 $a, b$ 为异面直线， $a \subset α, b \subset β$ ， $a // β$ ， $b // α$ ，则 $α // β$

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5. 如图，已知过点 $(\frac{2 π}{3}, 0)$ 的函数 $f (x) = 2 cos (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < π)$ 的图象与函数 $y = \sqrt{2}$ 的图象相交于 $A, B$ 两点，且 $|A B| = \frac{π}{4}$ ，则 $f (\frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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6. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $B = 60^{\circ}, b = 3 \sqrt{3}$ .若 $△ A B C$ 有两个解，则 $c$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 3)$ B、 $(3, 3 \sqrt{3}]$ C、 $[3 \sqrt{3}, + \infty)$ D、 $(3 \sqrt{3}, 6)$

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7. 已知随机事件 $A, B$ ，满足 $P (A) = 0.3, P (B) = 0.6$ ，则下面说法正确的是（）

A、若事件 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $P (A + B) = 0.18$ B、若 $P (A + B) = 0.8$ ，则事件 $A$ 与 $B$ 可能互斥 C、若事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (\bar{A} \bar{B}) = 0.28$ D、若 $P (A \bar{B}) = 0.12$ ，则事件 $A$ 与 $B$ 互斥

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8. 截交线，是平面与空间形体表面的交线，它是画法几何研究的内容之一.当空间形体表面是曲面时，截交线是一条平面曲线；当空间形体表面由若干个平面组成时，截交线是一个多边形.已知正三棱锥 $O - A B C$ ，满足 $O A ⊥ O B, O B ⊥ O C, O A ⊥ O C, O A = 3$ ，点 $P$ 在 $△ A B C$ 内部（含边界）运动，且 $|O P| = \sqrt{6}$ ，则点 $P$ 的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2} π}{2}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $π$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知复数 $z = (a - 1) + (a^{2} + 2 a - 3) i$ ，其中 $a$ 为实数， $i$ 为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A、若 $z$ 为虚数，则 $a \neq 1$ 或 $a \neq - 3$ B、若复平面内表示复数 $z$ 的点位于第二象限，则 $a < - 3$ C、若 $z > - 2$ ，则 $a = 1$ D、若 $a \neq 1$ 且 $a \neq - 3$ ，则 $z^{2} = | z |^{2}$

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10. 已知正数 $a, b$ 满足 $a + 2 b = 1$ ，则下面不等式正确的是（）

A、 $a b \leq \frac{1}{8}$ B、 $a^{2} + 4 b^{2} \geq 1$ C、 $\frac{8}{a} + \frac{1}{b} \geq 18$ D、 $a^{2} + 4 b \geq 2$

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11. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $M$ 为 $B C$ 的中点，点 $P$ 为正方形 $A D D_{1} A_{1}$ 内（包含边界）的动点，则下列说法正确的是（）

A、点 $A_{1}, B_{1}, D, M$ 四点共面 B、几何体 $M - A_{1} B_{1} B A$ 的外接球的体积为 $\frac{9 π}{2}$ C、满足 $M P //$ 平面 $A C D_{1}$ 的点 $P$ 的轨迹长度为 $\sqrt{2}$ D、 $|M P| + |P C_{1}|$ 的最小值为 $\sqrt{21}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题.5分，共15分.

12. 若一个扇形的面积为6，扇形圆心角的弧度数是4，则该扇形的弧长为.

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13. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 3)$ ，若向量 $\vec{b} - \vec{a}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $λ \vec{a}$ ，则 $λ =$ .

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14. 甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为 $\frac{1}{2}$ ，乙队中3名选手答对题的概率分别为 $\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$ .在第一轮比赛中，甲队得 $x$ 分，乙队得 $y$ 分，则在这一轮中，满足 $0 < x - y \leq 2$ 且 $y \neq 0$ 的概率为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 已知向量 $\vec{m} = (1, 2 cos x), \vec{n} = (1, sin (x + \frac{π}{6}))$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (A) = \frac{5}{2}$ 且 $A$ 在第三象限，求 $cos (A + \frac{π}{6})$ 的值.

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16. 如图，已知圆锥 $S O$ ， $A B$ 为底面直径， $C$ 是底面圆周上不同于 $A$ 、 $B$ 的一点，母线长为4.

(1)、若点 $M$ 为 $B C$ 的中点，证明： $A C //$ 平面 $S O M$ ；

(2)、若该圆锥的轴截面面积为 $4 \sqrt{3}$ ，求该圆锥的表面积.

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17. 某学校高一年级进行某学科的考试，所有学生的成绩做成的频率分布直方图如图所示，第一组成绩在 $[50, 60)$ ，第二组成绩在 $[60, 70)$ ，第三组成绩在 $[70, 80)$ ，第四组成绩在 $[80, 90)$ ，第五组成绩在 $[90, 100]$ .

(1)、年级准备表扬在本次考试中成绩在前 $\frac{1}{4}$ 的同学，定为成绩优胜，估计此次考试成绩优胜的分数线；

(2)、现用分层随机抽样的方法在第二组和第四组中选取6人，进行成绩情况调研.
①从这6人中抽取2人，求这2人不在同一组的概率；
②若抽取的同学中，第二组的成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组的成绩的平均数和方差分别为83和70，据此估计第二组和第四组抽取的所有同学中成绩的方差.

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18. 如图，已知三棱锥 $A - B C D$ ， $△ A B D$ 为等边三角形， $B D = A C$ ， $B C ⊥ C D$ ，点 $O$ 为 $B D$ 的中点.

(1)、证明： $A O ⊥ O C$ ；

(2)、当 $B C = C D$ 时，取 $A C$ 的中点 $E$ ，求 $B E$ 与平面 $A O C$ 所成角的余弦值；

(3)、当异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{4}$ 时，求 $\frac{B C}{C D}$ 的值.

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19. 在锐角三角形 $A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对应的边分别为 $a, b, c$ ，点 $M, N$ 分别为边 $B C, A B$ 的中点，满足 $\vec{A M} \cdot \vec{C N} = 0$ .

(1)、求 $\frac{a^{2} + c^{2}}{b^{2}}$ 的值；

(2)、求 $cos B$ 的取值范围.

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