浙江省杭州市萧山区2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2024-07-19 类型：期末考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 当 $x = 1$ 时，二次根式 $\sqrt{5 - x}$ 的值为( )

A、 $4$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $6$ D、 $2$

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2. 下列选项中的四个点，在函数 $y = \frac{12}{x}$ 的图象上的是( )

A、 $(- 2, - 6)$ B、 $(- 2,6)$ C、 $(2, - 6)$ D、 $(2,10)$

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3. 下列等式成立的是( )

A、 $\sqrt{6} + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{6} - \sqrt{2} = 2$ C、 $\sqrt{6} \times \sqrt{2} = 2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{2} = 3$

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4. $2021$ 年杭州市某区的 $G D P ($ 国内生产总值 $) 为 2502.2$ 亿元 $. 2023$ 年该区的 $G D P 为 2936.43$ 亿元，在杭州市各区县排名第一 $.$ 设这两年该区 $G D P$ 的平均增长率为 $x$ ，根据题意可列出方程为( )

A、 $2502.2 (1 + 2 x) = 2936.43$ B、 $2502.2 (1 + x)^{2} = 2936.43$ C、 $2502.2 (1 + 2 x)^{2} = 2936.43$ D、 $2502.2 x^{2} = 2936.43$

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5. 六边形的内角和为（）

A、360° B、540° C、720° D、900°

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = 2 B C$ ，以点 $B$ 为圆心， $B C$ 长为半径画弧，交线段 $A B$ 于点 $D$ ；以点 $A$ 为圆心， $A D$ 长为半径画弧，交线段 $A C$ 于点 $E . 则 \frac{A E}{A C}$ 的值是( )

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{4}$

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7. 淘票票的评分界面中记录了电影 $《$ 集结号 $》$ 不同打分的人数．
评分 $(分)$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$7$
$8$
$9$
$10$
人数 $(个)$
$56$
$502$
$0$
$0$
$1398$
$2516$
$2795$
$36894$
$111800$
$403039$
则由表中的数据，该电影评分的平均分正确预测是( )

A、在 $1$ 分到 $6$ 分之间 B、在 $7$ 分到 $8$ 分之间 C、在 $8$ 分到 $9$ 分之间 D、在 $9$ 分到 $10$ 分之间

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8. 若四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C 与 B D$ 相等且互相平分，则下列关于四边形 $A B C D$ 的形状判断正确的是( )

A、一定是矩形，但不一定是正方形 B、一定是菱形 C、一定是平行四边形，但不可能是矩形 D、一定是正方形

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9. 已知方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根是 $\pm α ， x^{2} + d x + e = 0$ 的两个根是 $\pm β . 当 x = β$ 时， $x^{2} + b x + c$ 的值记作 $y_{1}$ ；当 $x = α$ 时， $x^{2} + d x + e$ 的值记作 $y_{2} .$ 则下列结论一定成立的是( )

A、 $y_{1} + y_{2} = 0$ B、 $y_{1} - y_{2} = 0$ C、 $y_{1} \cdot y_{2} = 1$ D、 $y_{1} - y_{2} = 1$

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E 是 A B$ 边上一个动点 $($ 不与点 $A$ ，点 $B$ 重合 $)$ ，连结 $C E$ ，作 $B F ⊥ C E 交 A D$ 于点 $F$ ，垂足为点 $G$ ，连结 $C F$ ，记 $△ B E G ， △ C D F ， △ C F G ， △ B C G$ ，四边形 $A E G F$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3} ， S_{4} ， S_{5}$ ，方方通过探究，得到以下两个结论： $① S_{1} + S_{2} = S_{3} ， ② S_{4} = S_{5} .$ 则下列选项中，正确的是( )

A、 $① ②$ 都正确 B、 $① ②$ 都错误 C、 $①$ 正确 $②$ 错误 D、 $①$ 错误 $②$ 正确

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11. 二次根式 $\sqrt{x - 1}$ 中字母 $x$ 的取值范围是．

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12. 已知点 $A (1, y_{1}) ， B (2, y_{2})$ 在反比例函数 $y = - \frac{12}{x}$ 的图象上，则 $y_{1}$ $y_{2} ($ 填“ $>$ ”、“ $<$ ”或“ $= ”)$ ．

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13. 若关于x的方程x²+6x+a=0有两个相等的实数根，则a的值为。

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14. 在某校八年级举行“数学说题”比赛中， $10$ 名参赛学生的成绩统计如图所示，则这 $10$ 名学生的参赛成绩的众数是分 $.$

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15. 杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形 $A B C D$ ，伞骨连接点 $A$ 固定在伞柄 $A P$ 顶端，伞圈 $C$ 能沿着伞柄 $A P$ 滑动 $.$ 小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄 $A P$ 的中点 $O$ 到伞骨连接点 $B ， D$ 的距离都等于 $A P$ 的一半，若夹角 $∠ B A D = 2 ∠ B O D$ ，则 $∠ B C D$ 的度数是．

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16. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，小明用相同的七巧板拼成一个无缝隙的正方形 $($ 如图 $1)$ 和一个中间留有空白的数字“ $0 ” ($ 如图 $2)$ ，若图 $1$ 正方形的面积是 $16$ ，则图 $2$ 中空白部分的面积是．

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三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{24} \div \sqrt{3} \times (- \sqrt{2})$ ；

(2)、 $\sqrt{18} - (\sqrt{8} + \sqrt{\frac{1}{2}})$ ．

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18. 解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 3 x = 0$ ；

(2)、 $x^{2} - 8 x + 12 = 0$ ．

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19. 圆圆、方方准备代表学校参加区里的铅球比赛，体育老师对这两名同学测试了 $10$ 次，获得如下测试成绩折线统计图 $.$ 根据图中信息，解答下列问题：

(1)、要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量．

(2)、求方方成绩的方差．

(3)、现求得圆圆成绩的方差是 $S^{2} = 1.8 ($ 单位：平方米 $) .$ 根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由．

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20. 如图，点 $P$ 是反比例函数 $y = \frac{6}{x} (x > 0)$ 图象上的一个动点，作 $P H ⊥ y$ 轴于点 $H$ ，点 $Q 是 P H$ 的中点，设点 $Q$ 的坐标为 $(m, n)$ ．

(1)、 $n 是 m$ 的函数，并加以说明 $. ($ 填“一次”或“反比例” $)$

(2)、当 $n > 3$ 时，求 $m$ 的取值范围．

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21. 强强为了激励自己学好数学，在白色宣纸上写了两幅书法作品，准备装裱后挂在书房 $.$ 其中一幅长方形书法作品长 $80 c m$ ，宽 $20 c m$ ，正方形书法作品边长为 $40 c m$ ，现在给两幅作品四周装裱上宽度相等的彩纸 $($ 如图 $1$ ，图 $2)$ ，设彩纸的宽为 $x c m . ($ 粘贴连接处忽略不计 $)$

(1)、装裱后长方形书法作品的长为 $c m$ ；正方形书法作品的面积为 $c m^{2} . ($ 用含 $x$ 的代数式表示 $)$

(2)、若装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为 $1100 c m^{2}$ ，求装裱正方形书法作品所用彩纸的面积．

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22. 如图，在▱ $A B C D$ 中， $B D$ 是对角线，作 $A E ⊥ B D$ 于点 $E ， C F ⊥ B D$ 于点 $F$ ，连结 $A F ， C E$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是平行四边形．

(2)、若 $B E = C E ， A E = 4 ， D E = 8$ ，求 $C D$ 的长．

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23. 综合与实践：如何称量一个 $1$ 元硬币的重量？
素材 $1$ ：如图是一架自制天平，左侧托盘固定在点 $A$ 处，右侧托盘的点 $P$ 可以在横梁 $B C$ 段滑动 $.$ 已知 $A C = 30 c m ， B C = 76 c m$ ，支点 $O 在 A C$ 的中点处，一个 $100 g$ 的砝码．
素材 $2$ ：由于一个硬币太轻，这个自制天平无法直接称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置一个 $100 g$ 砝码，右侧托盘放入 $10$ 个相同的 $1$ 元硬币，调整点 $P$ 的位置，发现当 $P C = 10 c m$ 时，天平平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量 $\times O A =$ 右盘物体重量 $\times O P . ($ 不计托盘与横梁重量 $)$

(1)、任务 $1$ ：左侧托盘放入 $1 个 100 g$ 砝码，设右侧托盘放置 $y g$ 物体， $O P$ 长为 $x c m$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；

(2)、任务 $2$ ：求一个 $1$ 元硬币的重量；并判断左侧托盘放入 $1 个 100 g$ 砝码时，右侧托盘至少要放置几个 $1$ 元硬币，该天平才能保持平衡；

(3)、任务 $3$ ：横梁 $A B$ 长度保持不变的情况下，通过调整天平支点的位置，使左侧托盘放入 $1 个 100 g$ 砝码，右侧托盘放置一个 $1$ 元硬币时，天平能保持平衡， $O A$ 的长度至多是多少 $c m$ ？

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24. 如图 $(1)$ ，已知矩形 $A B C D$ ，点 $E ， G$ 分别是矩形边 $A D ， B C$ 上的一点，且 $A E = C G ， △ A B E 与 △ D C G$ 分别沿 $B E ， D G$ 翻折得到 $△ F B E 与 △ D H G ； E F$ 所在的直线交直线 $D H 于 N$ 点， $G H$ 所在的直线交直线 $B F 于 M$ 点．

(1)、求证：四边形 $M H N F$ 是矩形．

(2)、若 $A D = \sqrt{2} A B$ ，且 $∠ M B G = 45 ° .$ 判断四边形 $M H N F$ 的形状，并说明理由．

(3)、如图 $(2)$ ，若点 $F 是 D G$ 的中点 $.$ 试探求 $H D 与 E F$ 的数量关系，并加以说明．

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评分 $(分)$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
人数 $(个)$	$56$	$502$	$0$	$0$	$1398$	$2516$	$2795$	$36894$	$111800$	$403039$