山东省济宁市2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-07-18 类型：中考真卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1. ﹣3的绝对值是（）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、﹣3 D、 $- \frac{1}{3}$

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2. 如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（）

A、人 B、才 C、强 D、国

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{2} \times \sqrt{5} = \sqrt{10}$ C、 $2 \div \sqrt{2} = 1$ D、 $\sqrt{(- 5)^{2}} = - 5$

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4. 如图，菱形ABCD的对角线AC ， BD相交于点O ， E是AB的中点，连接OE ．若OE＝3，则菱形的边长为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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5. 为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）．下列说法正确的是（）

A、班主任采用的是抽样调查 B、喜爱动画节目的同学最多 C、喜爱戏曲节目的同学有6名 D、“体育”对应扇形的圆心角为72°

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6. 如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O ，则它的内切圆半径为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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7. 已知点A（﹣2，y₁），B（﹣1，y₂），C（3，y₃）在反比例函数y $= \frac{k}{x}$ （k＜0）的图象上，则y₁ ， y₂ ， y₃的大小关系是（）

A、y₁＜y₂＜y₃ B、y₂＜y₁＜y₃ C、y₃＜y₁＜y₂ D、y₃＜y₂＜y₁

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8. 解分式方程 $1 - \frac{1}{3 x - 1} = - \frac{5}{2 - 6 x}$ 时，去分母变形正确的是（）

A、2﹣6x+2＝﹣5 B、6x﹣2﹣2＝﹣5 C、2﹣6x﹣1＝5 D、6x﹣2+1＝5

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9. 如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E ， F ．若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，则∠A的度数为（）

A、42° B、41°20' C、41° D、40°20'

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10. 如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（）

A、90 B、91 C、92 D、93

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

11. 我国自主研发的 $500 m$ 口径球面射电望远镜（ $F A S T$ ）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为 $250000 m^{2}$ ．将数 $250000$ 用科学记数法表示为．

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12. 已知a²﹣2b+1＝0，则 $\frac{4 b}{a^{2} + 1}$ 的值是．

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13. 如图，四边形ABCD的对角线AC ， BD相交于点O ， OA＝OC ，请补充一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．

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14. 将抛物线y＝x²﹣6x+12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是．

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15. 如图，△ABC中，AB＝AC ， ∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．
⑴以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ， BC于点E ， F ．
⑵以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G ．
⑶以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H ．
⑷画射线AH ．
⑸以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M ．
⑹连接MC ， MB ． MB分别交AC ， AD于点N ， P ．
根据以上信息，下面五个结论中正确的是.（只填序号）
①BD＝CD；②∠ABM＝15°③∠APN＝∠ANP；④ $\frac{A M}{A D} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ；⑤MC²＝MN•MB ．

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三、解答题：本大题共7小题，共55分。

16. 先化简，再求值：x（y﹣4x）+（2x+y）（2x﹣y），其中x $= \frac{1}{2}$ ， y＝2．

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17. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（3，4），C（1，4）．

(1)、将△ABC向下平移2个单位长度得△A₁B₁C₁ ．画出平移后的图形，并直接写出点B₁的坐标；

(2)、将△A₁B₁C₁绕点B₁逆时针旋转90°得△A₂B₁C₂ ．画出旋转后的图形，并求点C₁运动到点C₂所经过的路径长．

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18. 为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．
【收集数据】
八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
【描述数据】
八年级（1）班20名学生成绩统计表
分数
80
85
90
95
100
人数
3
3
a
b
3
【分析数据】
八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表
统计量班级
平均数
中位数
众数
方差
八年级（1）班
m
n
95
41.5
八年级（3）班
91
90
p
26.5
【应用数据】
根据以上信息，回答下列问题．

(1)、请补全条形统计图；

(2)、填空：m＝， n＝；

(3)、你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；

(4)、从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．

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19. 如图，△ABC内接于⊙O ， D是BC上一点，AD＝AC ． E是⊙O外一点，∠BAE＝∠CAD ， ∠ADE＝∠ACB ，连接BE ．

(1)、若AB＝8，求AE的长；

(2)、求证：EB是⊙O的切线．

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20. 某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．

(1)、求这段时间内y与x之间的函数解析式；

(2)、在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？

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21. 综合与实践
某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形ABCD中，AB＞AD且AB足够长）进行探究活动．
【动手操作】
如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF ，连接EF ，把纸片展平．
第二步，把四边形AEFD折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为GH ，再把纸片展平．
第三步，连接GF ．

(1)、【探究发现】
根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论．
甲同学的结论：四边形AEFD是正方形．
乙同学的结论 $t a n ∠ A F G = \frac{1}{3}$
请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由．

(2)、【继续探究】
在上面操作的基础上，丙同学继续操作．
如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在AB上的点M处，折痕为GP ，连接PM ，把纸片展平．
第五步，连接FM交GP于点N ．
根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：
FN•AM＝GN•AD ．
请证明这个结论．

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22. 已知二次函数y＝ax²+bx+c的图象经过（0，﹣3），（﹣b ， c）两点，其中a ， b ， c为常数，且ab＞0．

(1)、求a ， c的值；

(2)、若该二次函数的最小值是﹣4，且它的图象与x轴交于点A ， B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C ．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A ， B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P ，过点P作x轴的垂线，垂足为D ，与直线AC交于点E ，连接PC ， CB ， BE ．是否存在点P ，使 $\frac{S_{△ P C E}}{S_{△ C B E}} = \frac{3}{8} ？$ 若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

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统计量班级	平均数	中位数	众数	方差
八年级（1）班	m	n	95	41.5
八年级（3）班	91	90	p	26.5

分数	80	85	90	95	100
人数	3	3	a	b	3