辽宁省2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-07-18 类型：中考真卷

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一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表：
大洲
亚洲
欧洲
非洲
南美洲
最低海拔/m
﹣415
﹣28
﹣156
﹣40
其中最低海拔最小的大洲是（）

A、亚洲 B、欧洲 C、非洲 D、南美洲

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3. 越山向海，一路花开．在5月24日举行的2024辽宁省高品质文体旅融合发展大产业招商推介活动中，全省30个重大文体旅项目进行集中签约，总金额达532亿元．将53200000000用科学记数法表示为（）

A、532×10⁸ B、53.2×10⁹ C、5.32×10¹⁰ D、5.32×10¹¹

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4. 如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为（）

A、30° B、45° C、60° D、120°

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5. 下列计算正确的是（）

A、a²+a³＝2a⁵ B、a²•a³＝a⁶ C、（a²）³＝a⁵ D、a（a+1）＝a²+a

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6. 一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为 $\frac{3}{10}$ 的是（）

A、摸出白球 B、摸出红球 C、摸出绿球 D、摸出黑球

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7. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有x只，兔有y只，根据题意可列方程组为（）

A、 $\{\begin{array}{l} x + y = 94 \\ 4 x + 2 y = 35 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x + y = 94 \\ 2 x + 4 y = 35 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x + y = 35 \\ 4 x + 2 y = 94 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x + y = 35 \\ 2 x + 4 y = 94 \end{array}$

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9. 如图，▱ABCD的对角线AC ， BD相交于点O ， DE∥AC ， CE∥BD ，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为（）

A、4 B、6 C、8 D、16

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10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线 $y = \frac{3}{4} x$ 上，若点B的横坐标是8，则点C的坐标为（）

A、（﹣1，6） B、（﹣2，6） C、（﹣3，6） D、（﹣4，6）

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二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

11. 方程 $\frac{5}{x + 2} = 1$ 的解为．

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12. 在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别为A（2，﹣1），B（1，0），将线段AB平移后，点A的对应点A^'的坐标为（2，1），则点B的对应点B^'的坐标为．

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13. 如图，AB∥CD ， AD与BC相交于点O ，且△AOB与△DOC的面积比是1：4，若AB＝6，则CD的长为．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+3与x轴相交于点A ， B ，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为．

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15. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC ， AD＞AB ， AD＝a ， AB＝10，以点A为圆心，以AB长为半径作弧，与BC相交于点E ，连接AE ．以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与EA ， EC相交于点M ， N ，再分别以点M ， N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作弧，两弧在∠AEC的内部相交于点P ，作射线EP ，与AD相交于点F ，则FD的长为（用含a的代数式表示）．

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三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

16.

(1)、计算： $4^{2} + 10 \div (- 1) + \sqrt{8} + | 3 - \sqrt{2} |$ ；

(2)、计算： $\frac{a}{a + 1} \cdot \frac{a^{2} - 1}{a^{2}} + \frac{1}{a}$ ．

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17. 甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为36m³ ．工作期间需同时排水，乙池的排水速度是8m³/h ．若排水3h ，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．

(1)、求甲池的排水速度．

(2)、工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于24m³ ，那么最多可以排水几小时？

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18. 某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：D：60≤x＜70，C：70≤x＜80，B：80≤x＜90，A：90≤x≤100），部分信息如下：
信息一：
信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89．
请根据以上信息，解答下列问题；

(1)、求所抽取的学生成绩为C等级的人数；

(2)、求所抽取的学生成绩的中位数；

(3)、该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．

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19. 某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
每件售价x/元
…
45
55
65
…
日销售量y/件
…
55
45
35
…

(1)、求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；

(2)、该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，明理由．

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20. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3m ， ∠CAB＝60°，停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°（点C ， A ， D在同一直线上，且直线CD与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．

(1)、求AB的长；

(2)、求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， $\sqrt{3} \approx$ 1.73）

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21. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在 $\hat{B C}$ 上， $\hat{A C} = \hat{B D}$ ，点E在BA的延长线上，∠CEA＝∠CAD ．

(1)、如图1，求证：CE是⊙O的切线；

(2)、如图2，若∠CEA＝2∠DAB ， OA＝8，求 $\hat{B D}$ 的长．

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22. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝α（0°＜α＜45°）．将线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD ，过点D作DE⊥BC ，垂足为E ．

(1)、如图1，求证：△ABC≌△CED ．

(2)、如图2，∠ACD的平分线与AB的延长线相交于点F ，连接DF ， DF的延长线与CB的延长线相交于点P ，猜想PC与PD的数量关系，并加以证明．

(3)、如图3，在（2）的条件下，将△BFP沿AF折叠，在α变化过程中，当点P落在点E的位置时，连接EF ．
①求证：点F是PD的中点；
②若CD＝20，求△CEF的面积．

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23. 已知y₁是自变量x的函数，当y₂＝xy₁时，称函数y₂为函数y₁的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数y₁图象上任意一点A（m ， n），称点B（m ， mn）为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y₁的“升幂函数”y₂的图象上．
例如：函数y₁＝2x ，当 $y_{2} = x y_{1} = x \cdot 2 x = 2 x^{2}$ 时，则函数 $y_{2} = 2 x^{2}$ 是函数y₁＝2x的“升幂函数”．
在平面直角坐标系中，函数y₁＝2x的图象上任意一点A（m ， 2m），点B（m ， 2m²）为点A“关于y₁的升幂点”，点B在函数y₁＝2x的“升幂函数” $y_{2} = 2 x^{2}$ 的图象上．

(1)、求函数 $y_{1} = \frac{1}{2} x$ 的“升幂函数”y₂的函数表达式．

(2)、如图1，点A在函数 $y_{1} = \frac{3}{x} (x ＞ 0)$ 的图象上，点A“关于y₁的升幂点”B在点A上方，当AB＝2时，求点A的坐标．

(3)、点A在函数y₁＝﹣x+4的图象上，点A“关于y₁的升幂点”为点B ，设点A的横坐标为m ．
①若点B与点A重合，求m的值；
②若点B在点A的上方，过点B作x轴的平行线，与函数y₁的“升幂函数”y₂的图象相交于点C ，以AB ， BC为邻边构造矩形ABCD ，设矩形ABCD的周长为y ，求y关于m的函数表达式；
③在②的条件下，当直线y＝t₁与函数y的图象的交点有3个时，从左到右依次记为E ， F ， G ，当直线y＝t₂与函数y的图象的交点有2个时，从左到右依次记为M ， N ，若EF＝MN ，请直接写出t₂﹣t₁的值．

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大洲	亚洲	欧洲	非洲	南美洲
最低海拔/m	﹣415	﹣28	﹣156	﹣40

每件售价x/元	…	45	55	65	…
日销售量y/件	…	55	45	35	…