【培优版】北师大版数学九上2.5一元二次方程根与系数的关系同步练习

试卷更新日期：2024-07-17 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知α，β是方程x²+2014x+1=0的两个根，则（1+2016α+α²）（1+2016β+β²）的值为（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 若α、β是方程x²+2x﹣2007=0的两个实数根，则α²+3α+β的值（　　）

A、2007 B、2005 C、﹣2007 D、4010

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3. 已知关于 $x$ 的两个多项式 $A = x^{2} - a x - 2$ ， $B = x^{2} - 2 x - 3$ ．其中a为常数，下列说法：
①若 $A - B$ 的值始终与 $x$ 无关，则 $a = - 2$ ；
②关于x的方程 $A + B = 0$ 始终有两个不相等的实数根；
③若 $A \cdot B$ 的结果不含 $x^{2}$ 的项，则 $a = \frac{5}{2}$ ；
④当 $a = 1$ 时，若 $\frac{A}{B}$ 的值为整数，则x的整数值只有2个．
以上结论正确的个数有（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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4. 已知 m， n 是一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 5 = 0$ 的两个根，则 $m^{2} + m n + 2 m$ 的值为（）

A、3 B、-10 C、0 D、10

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5. 设 $x^{2} - p x + q = 0$ 的两实根为 $α$ ， $β$ ，而以 $α^{2}$ ， $β^{2}$ 为根的一元二次方程仍是 $x^{2} - p x + q = 0$ ，则数对 $(p ， q)$ 的个数是（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $0$

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6. 已知a、b、m、n为互不相等的实数，且 $(a + m) (a + n) = 2$ ， $(b + m) (b + n) = 2$ ，则 $a b - m n$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、2 D、4

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7. 已知一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 中，下列说法：①若 $a + b + c = 0$ ，则 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ； ②若方程两根为 $- 1$ 和2，则 $2 a + c = 0$ ； ③若方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $x^{2} + c = 0$ 必有两个不相等的实根；④若 $b = 2 a + 3 c$ ，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - m x - 2 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $3 x_{1} + 3 x_{2} - x_{1} x_{2} = 5$ ，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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二、填空题

9. 已知一元二次方程 $x^{2} - 3 x + k = 0$ 的两个实数根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，若 $x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} = 1$ ，则实数 $k =$ ．

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10. 若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} + x - 2023 = 0$ 的两个实数根，则代数式 $x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2}$ 的值等于．

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11. 设 $α$ ， $β$ 是方程 $x^{2} + x - 18 = 0$ 的两个实数根，则 $α^{2} + 3 α + 2 β$ 的值是．

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12. 已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $3 a^{2} + 4 a - 2 = 0$ ， $3 b^{2} + 4 b - 2 = 0$ ，则 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} =$ ．

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13. 关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 (k - 1) x + k^{2} = 0$ 的两个实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 满足 $x_{1} + x_{2} = 1 - x_{1} x_{2}$ ，则 $k$ 的值为．

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三、解答题

14. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + k x - 3 = 0$ ．

(1)、当 $k = 2$ 时，求一元二次方程的根；

(2)、求证：无论k取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；

(3)、已知 $x = 3$ 是方程 $x^{2} + k x - 3$ 的一个根，求方程的另一个根．

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15. 已知，关于x的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} - 4 x + 3 = 0$ ．

(1)、若 $x = 1$ 是该方程的一个根，求k的值及另一个根；

(2)、若该方程有两个实数根，若 $x_{1}^{2} x_{2} + x_{1} x_{2}^{2} = 3$ ，求k的值；

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16. 定义：已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根，若 $x_{1} ＜ x_{2} ＜ 0$ ，且 $3 < \frac{x_{1}}{x_{2}} < 4$ ，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程 $x^{2} + 13 x + 30 ＝ 0$ 的两根为 $x_{1} = ﹣ 10$ ， $x_{2} = ﹣ 3$ ，因为 $﹣ 10 ＜ - 3 ＜ 0$ ， $3 < \frac{- 10}{- 3} < 4$ ，所以一元二次方程 $x^{2} + 13 x + 30 = 0$ 为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：

(1)、判断一元二次方程 $x^{2} + 9 x + 14 ＝ 0$ 是否为“限根方程”，并说明理由；

(2)、若关于x的一元二次方程 $2 x^{2} + （ k + 7 ） x + k^{2} + 3 ＝ 0$ 是“限根方程”，且方程的两根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 满足 $x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2} = - 1$ ，求k的值．

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17. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + 5 = 0$ 有两个实数根．

(1)、求m的取值范围；

(2)、若 $R t △ A B C$ 的两条直角边 $A C$ ， $B C$ 的长恰好是此方程的两个实数根，斜边 $A B = 6$ ，求 $R t △ A B C$ 的周长．

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18. 已知 $x_{1} ， x_{2}$ 是关于x的一元二次方程 $4 k x^{2} - 4 k x + k + 1 = 0$ 的两个实数根.

(1)、是否存在实数k，使 $(2 x_{1} - x_{2}) (x_{1} - 2 x_{2}) = - \frac{3}{2}$ 成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

(2)、求使 $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} - 2$ 的值为整数的实数k的整数值.

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四、综合题

19. 已知：平行四边形 $A B C D$ 的两边 $A B$ ， $A D$ 的长是关于x的方程 $x^{2} - m x + m - 1 = 0$ 的两个实数根.

(1)、m为何值时，四边形 $A B C D$ 是菱形？

(2)、若 $A B$ 的长为3，求 $▱ A B C D$ 的周长.

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20. 已知：x₁ ， x₂是x²+8x+m＝0的两个实数根，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ ＝60求．

(1)、m的值；

(2)、 $\sqrt{\frac{x_{2}}{x_{1}}} + \sqrt{\frac{x_{1}}{x_{2}}}$

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五、实践探究题

21. 阅读与思考：
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)、材料理解：若一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ， $x_{1} \cdot x_{2} =$ ；

(2)、类比应用：已知一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $m ， n$ ，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值．

(3)、思维拓展：已知实数 $m ， n$ 满足 $2 m^{2} - 3 m - 1 = 0 ， 2 n^{2} - 3 n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值．

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22. 阅读材料：
材料1：若一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x₁、x₂ ，则x₁+x₂= $- \frac{b}{a}$ ，x₁x₂= $\frac{c}{a}$ ．

材料2：已知实数m、n满足m²-m-1=0，n²-n-1=0，且m≠n，求 $\frac{m}{n} + \frac{n}{m}$ 的值．

解：由题知m、n是方程x²-x-1=0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n=1，mn=-1．

∴ $\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} = \frac{{(m + n)}^{2} - 2 m n}{m n} = \frac{1 + 2}{- 1} = - 3$ ．

根据上述材料解决下面的问题：

(1)、一元二次方程x²-4x-3=0的两根为x₁、x₂ ，则x₁+x₂=4，x₁x₂=；

(2)、已知实数m，n满足 $2 m^{2} - 2 m - 1 = 0$ ， $2 n^{2} - 2 n - 1 = 0$ ，且m≠n，求m²n+mn²
的值；

(3)、已知实数p，q满足p²=3p+2，2q²=3q+1，且p≠2q，求p²+4q²的值．

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二、填空题

三、解答题

四、综合题

五、实践探究题

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