【提升版】北师大版数学九上2.5一元二次方程根与系数的关系同步练习

试卷更新日期：2024-07-17 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 3 x + a = 0$ 有一个根为 $- 2$ ，则另一个根为（）

A、 $5$ B、 $- 1$ C、 $2$ D、 $- 5$

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2. 已知m，n是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 t x + t^{2} - 2 t + 4 = 0$ 的两实数根，则 $(m + 2) (n + 2)$ 的最小值是（）

A、7 B、11 C、12 D、16

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3. 若一元二次方程x²﹣（2m+3）x+m²＝0有两个不相等的实数根x₁ ， x₂ ，且x₁+x₂＝x₁x₂ ，则m的值是（）

A、﹣1 B、3 C、3或﹣1 D、﹣3或1

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4. 若关于 $x$ 的方程 $(k + 2) x^{2} + 3 x + k^{2} = 0$ 的两根互为倒数，则 $k =$ （）

A、3 B、1 C、 $- 1$ D、 $\pm 1$

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5. 关于x的一元二次方程x²-4x+m=0的两实数根分别为x₁ ， x₂ ，且x₁+3x₂=5，则m的值为（）

A、 $\frac{7}{4}$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $\frac{7}{6}$ D、0

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6. 已知a ， b是一元二次方程x²-3x-2＝0的两根，则 $\frac{1}{a - b} - \frac{2 b}{a^{2} - b^{2}}$ 的值是（　　）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、-3

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7. 关于x的一元二次方程x²-（k-1）x-k+2＝0有两个实数根x₁ ， x₂ ，若（x₁-x₂+2）（x₁-x₂-2）+2x₁x₂＝-3，则k的值（　　）

A、0或2 B、-2或2 C、-2 D、2

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二、填空题

8. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + m = 0$ 有两个同号实数根，则 $m$ 的取值范围是．

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9. 若方程 $x^{2} + 4 x + 2 = 0$ 的两根为 $m ， n$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} =$ ．

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10. 若a、b是一元二次方程x²﹣3x+1＝0的两个实数根，则代数式a+b﹣ab的值为．

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11. 已知实数m，n满足等式m²+2m﹣1＝0，n²+2n﹣1＝0，那么求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值是．

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12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 m x + m^{2} + m - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，且 $x_{1} + x_{2} - x_{1} \cdot x_{2} = - 5$ ，则实数 $m =$ ．

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三、解答题

13. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 (a - 1) x + a^{2} - a - 2 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．

(1)、求a的取值范围；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 16$ ，求a的值．

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14. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 1) x^{2} + (2 m + 1) x + m = 0$ 有实数根．

(1)、求 $m$ 的取值范围．

(2)、若 $x_{1} ， x_{2}$ 是方程的根，且 $x_{1} + x_{2} = - m - 3$ ，求 $m$ 的值．

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15. 已知关于x的一元二次方程x²﹣2x﹣3m²＝0．

(1)、求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．

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16. 阅读材料：设一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁ ， x₂ ，则两根与方程系数之间有如下关系：x₁+x₂=－ $\frac{b}{a}$ ，x₁·x₂= $\frac{c}{a}$ ．根据该材料解题：
已知x₁、x₂是方程2x²+6x+3=0的两实数根．

(1)、求： $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ ；

(2)、 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}}$ ．

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17. 阅读材料：
材料1：关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根 $x_{1} ， x_{2}$ 和系数a，b，c，有如下关系： $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} ， x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

材料2：已知一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为m，n，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值.

解： $∵ m ， n$ 是一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根，

$∴ m + n = 1 ， m n = - 1$ .

则 $m^{2} n + m n^{2} = m n (m + n) = - 1 \times 1 = - 1$ .

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)、应用：一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两个实数根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2}$ = ， $x_{1} x_{2} =$ .

(2)、类比：已知一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两个实数根为m，n，求 $m^{2} + n^{2}$ 的值；

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二、填空题

三、解答题

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