【培优版】北师大版数学九上2.4用因式分解法解一元二次方程同步练习

试卷更新日期：2024-07-17 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ ，则三角形的周长为（）

A、10 B、11 C、10或11 D、以上都不对

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2. 一元二次方程 $2 x (x + 1) = 3 (x + 1)$ 的解是（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = \frac{3}{2}$ C、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = \frac{3}{2}$ D、无实数解

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3. 已知直角三角形的两条边长分别是方程x²﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（）

A、4或5 B、3 C、 $\sqrt{41}$ D、3或 $\sqrt{41}$

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4. 若三角形三边的长均能使代数式 $(x - 6) (x - 3)$ 的值为零，则此三角形的周长是（）

A、9或18 B、12或15 C、9或15或18 D、9或12或15

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5. 关于x的方程 $x^{2} + (m - 2) x + m + 1 = 0$ 有两个相等的实数根，则m的值是（）

A、0 B、8 C、 $4 \pm \sqrt{2}$ D、0或8

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6. 已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x²-5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是（）

A、11 B、12 C、11或12 D、15

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7. 若a、b是菱形ABCD的两条对角线的长，且a、b是一元二次方程x²-14x+48＝0的两个根，则菱形ABCD的边长为（）

A、4 B、5 C、 $\sqrt{13}$ D、10

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8. 已知点 $A (m^{2} - 2 ， 5 m + 4)$ 在第一象限角平分线上，则m的值为（）

A、6 B、 $- 1$ C、2或3 D、 $- 1$ 或6

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二、填空题

9. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (3 k + 1) x + 2 k^{2} + 2 k = 0$ ．若等腰三角形 $A B C$ 的一边长 $a = 6 c m$ ，另两边长 $b$ ， $c$ 恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长 $c m$ ．

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10. 一个三角形的两边长分别为2和3，第三边的长是方程 $x^{2} - 10 x + 21 = 0$ 的根，则该三角形的第三边的长为．

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11. 对于实数 $p ， q$ ，我们用符号 $\min {p ， q}$ 表示 $p ， q$ 两数中较小的数，如 $\min {1 ， 2} = 1$ .因此， $\min {- \sqrt{2} ， - \sqrt{3}} =$ ；若 $\min {{(x - 1)}^{2} ， x^{2}} = 1$ ，则 $x ＝$ ．

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12. 若 $x^{2} - 2 x - 2 = (x^{2} - 4 x + 3)^{0}$ ，则 $x$ 的值为．

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13. 若关于x一元二次方程 $(m + 2) x^{2} + 5 x + m^{2} + 3 m + 2 = 0$ 的常数项为0，则m的值等于．

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三、解答题

14. 如果一元二次方程的两根相差 $1$ ，那么该方程称为“差 $1$ 方程” $.$ 例如 $x^{2} + x = 0$ 是“差 $1$ 方程”．

(1)、判断下列方程是不是“差 $1$ 方程”，”并说明由：
① $x^{2} - 5 x - 6 = 0$ ；
② $x^{2} - \sqrt{5} x + 1 = 0$ ；

(2)、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (m - 1) x - m = 0 (m$ 是常数 $)$ 是“差 $1$ 方程”，求 $m$ 的值；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + 1 = 0 (a ， b$ 是常数， $a > 0)$ 是“差 $1$ 方程”，设 $t = 10 a - b^{2}$ ，求 $t$ 的最大值．

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15. 阅读下面的材料，并完成相应的任务．
材料：解含绝对值的方程： $x^{2} - 5 | x | - 6 = 0$ ．

解：分两种情况：

（ 1 ）当 $x \geq 0$ 时，原方程可化为： $x^{2} - 5 x - 6 = 0$ ，解得 $x_{1} = 6$ ， $x_{2} = - 1$ （舍去）；

（ 2 ）当 $x < 0$ 时，原方程可化为： $x^{2} + 5 x - 6 = 0$ ，解得 $x_{1} = - 6$ ， $x_{2} = 1$ （舍去）．

综上所述：原方程的解是 $x_{1} = 6$ ， $x_{2} = - 6$ ．任务：请参照上述方法解方程： $x^{2} - | x | - 2 = 0$ ．

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16. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + k^{2} + k = 0$ 。

(1)、求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)、若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5。当△ABC是等腰三角形时，求k的值。

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17. 关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 2) x^{2} + 2 m x + m + 3 = 0$ 有两个不相等的实数根.

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、当 $m$ 取满足条件的最大整数时，求方程的根.

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18. 已知a、b、c是△ABC的三条边长，若x=﹣1为关于x的一元二次方程（c﹣b）x²﹣2（b﹣a）x+（a﹣b）=0的根．

(1)、△ABC是等腰三角形吗？△ABC是等边三角形吗？请写出你的结论并证明；

(2)、若代数式子 $\sqrt{a - 2} + \sqrt{2 - a}$ 有意义，且b为方程y²﹣8y+15=0的根，求△ABC的周长．

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19. 阅读下列材料，完成相应的任务：

课堂上，老师让同学们复习一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的多种解法，在讨论这些解法之间的关系时，小组同学发言如下：

小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为 $(m x + n) (p x + q) = 0$ 的形式(其中m，p均不为零)，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程 $m x + n = 0$ 或

$p x + q = 0$ ，依据是____，进而得到原方程的根为 $x_{1} = \frac{n}{m}$ ， $x_{2} = - \frac{q}{p}$ .

小文：既然能用分解因式法求解关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，那么，能否运用一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，将多项式 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 分解因式呢?

小颖：可以!例如 $a = 1$ 时，如果方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，逆推回去可得两个一元一次方程是 $x - x_{1} = 0$ 或 $x - x_{2} = 0$ ，则原方程即可表示为 $(x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$ ，这样就可得到多项式 $x^{2} + b x + c$ 分解因式的结果为 $(x - x_{1}) (x - x_{2})$ !

例如：已知方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的两根为 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = - 1$ ，则 $x^{2} - 2 x - 3$ 分解因式为 $(x - 3) (x + 1)$ ；

已知方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两根为 $x_{1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ， $x_{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .则 $x^{2} - x - 1 = 0$ 分解因式为 $(x_{1} - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}) (x_{2} - \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

任务：

(1)、上述材料中“▲”处的依据为(填写字母序号即可)；

$A$ ：若 $a = 0$ 或 $b = 0$ ，则 $a b = 0$ .

$B$ ：若 $a b = 0$ ，则 $a = 0$ 或 $b = 0$ .

(2)、已知方程

x^{2} - 5 x + 6 = 0

的两个根为

x_{1} = 2

，

x_{2} = 3

，则多项式

x^{2} - 5 x + 6

分解因式的结果为；

(3)、请从下面

A

，

B

两题中任选一题作答.我选择 ▲ 题.

$A$ ：根据材料中的思路，直接写出多项式 $x^{2} - 6 x + 2$ 分解因式的结果.

$B$ ：根据材料中的思路，直接写出多项式 $2 x^{2} - 6 x + 2$ 分解因式的结果.

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20. 阅读材料，解决问题.
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数.

则第 $n$ 个三角数可以用 $1 + 2 + 3 + \dots + (n - 2) + (n - 1) + n =$ $\frac{n (n + 1)}{2} (n \geq 1$ 且为整数）来表示.

(1)、若三角数是55，则n=；

(2)、把第n个三角点阵中各行的点数依次换为 $2 ， 4 ， 6 ， \dots$ ， $2 n ， \dots$ ，请用含 $n$ 的式子表示前 $n$ 行所有点数的和；

(3)、在（2）中的三角点阵中前 $n$ 行的点数的和能为120吗?如果能，求出 $n$ ，如果不能，请说明理由.

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