【提升版】北师大版数学九上2.4用因式分解法解一元二次方程同步练习

试卷更新日期：2024-07-17 类型：同步测试

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一、选择题

1. 等腰三角形的两边长分别是方程 $x^{2} - 10 x + 21 = 0$ 的两个根，则这个三角形的周长为( )

A、 $17$ 或 $13$ B、 $13$ 或 $21$ C、 $17$ D、 $13$

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2. 方程 ${(x - 2)}^{2} = 2 x (x - 2)$ 的解是（）

A、 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 1$ B、 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 2$ C、 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 0$ D、 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 1$

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3. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 的解为( )

A、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 3$ B、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 3$ C、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = - 3$

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4. 已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程(x-6)(x-10)=0的一个实数根，则该三角形的面积是（）

A、24或2 $\sqrt{5}$ B、24 C、2 $\sqrt{5}$ D、8 $\sqrt{5}$ 或24

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二、填空题

5. 三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程 $x^{2} - 16 x + 60 = 0$ 的一个实数根，则该三角形的面积是．

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6. 已知方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的两根恰好是 $R t △ A B C$ 的两条边的长，则 $R t △ A B C$ 的第三边长为．

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三、解答题

四、实践探究题

7. 【综合与实践习】
【问题情境】课堂上，老师让同学们复习一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的多种解法，在讨论这些解法之间的关系时，小组同学发言如下：

(1)、【操作判断】小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为（x一m）（x一n）=0的形式，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程x-m=0或，进而得到原方程的根为x₁=m，x₂=。

(2)、【实践探究】小文：分解因式法虽好，但是有些方程用这个方法不太方便，比如 $x^{2} - 4 x$ $+ 2 = 0$ ，这个方程利用公式法或者配方法可得： $x_{1} = 2 + \sqrt{2}, x_{2} = 2 - \sqrt{2}$ ，但我们能反过来利用这两个解帮助我们对 $x^{2} - 4 x + 2$ 进行因式分解得到 $(x - 2 - \sqrt{2}) (x - 2 + \sqrt{2})$ ，请你利用这个方法对 $x^{2} + 2 x - 1$ 进行因式分解.

(3)、【问题解决】小枪：从特殊到一般，是否所有的代数式 $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 都能进行因式分解呢？请说明能进行因式分解的代数式 $a x^{2} + b x + c$ 中的a，b，c要满足什么条件，因式分解的结果是什么？

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8. 阅读材料：
解方程： ${(x^{2} - 1)}^{2} - 5 (x^{2} - 1) + 4 = 0$ ．我们可以将 $x^{2} - 1$ 视为一个整体，然后设 $x^{2} - 1 = y$ ，则 ${(x^{2} - 1)}^{2} = y^{2}$ ，原方程化为 $y^{2} - 5 y + 4 = 0$ ①，解得 $y_{1} = 1 ， y_{2} = 4$ ．
当 $y = 1$ 时， $x^{2} - 1 = 1 ， ∴ x^{2} = 2 ， ∴ x = \pm \sqrt{2}$ ．
当 $y = 4$ 时， $x^{2} - 1 = 4 ， ∴ x^{2} = 5 ， ∴ x = \pm \sqrt{5}$ ．
$∴$ 原方程的解为 $x_{1} = \sqrt{2} ， x_{2} = - \sqrt{2} ， x_{3} = \sqrt{5} ， x_{4} = - \sqrt{5}$ ．
根据上面的解答，解决下面的问题：

(1)、填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到降次的目的，体现了的数学思想；

(2)、解方程； $x^{4} - x^{2} - 12 = 0$ ．

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9. 阅读材料：若 $m^{2} - 2 m n + 2 n^{2} - 8 n + 16 = 0$ ，求m、n的值.
解： $m^{2} - 2 m n + 2 n^{2} - 8 n + 16 = 0$ ，
$(m^{2} - 2 m n + 2 n^{2}) + (n^{2} - 8 n + 16) = 0$
${(m - n)}^{2} + {(n - 4)}^{2} = 0$ ，
$∴ m - n = 0 ， n - 4 = 0$ ，
$∴ n = 4 ， m = 4$ .
根据你的观察，探究下面的问题：

(1)、已知 $x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} + 2 y + 1 = 0$ ，求 $x - y$ 的值.

(2)、已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 $a^{2} + b^{2} - 6 a - 8 b + 25 = 0$ ，求边c的最大值.

(3)、若已知 $a - b = 4 ， a b + c^{2} - 6 c + 13 = 0$ ，求 $a - b + c$ 的值

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10.

(1)、解方程：2x²+x﹣6=0；

(2)、阅读理解：为解方程（x²﹣1）²﹣5（x²﹣1）+4=0，我们可以将x²﹣1视为一个整体，然后设x²﹣1=y，则原方程化为y²﹣5y+4=0，解此方程得：y₁=1，y₂=4．当y=1时，x²﹣1=1，x=± $\sqrt{2}$ ；当y=4时，x²﹣1=4，∴x=± $\sqrt{5}$
∴原方程的解为：x₁= $\sqrt{2}$ ，x₂=﹣ $\sqrt{2}$ ，x₂= $\sqrt{5}$ ，x₁=﹣ $\sqrt{5}$

以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想．

运用上述方法解方程：x⁴﹣8x²+12=0．

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11. 知识经验
我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0.
即：如果 $a \cdot b = 0$ ，那么 $a = 0$ 或 $b = 0$
知识迁移
Ⅰ.解方程： $(x + 1) (x + 2) = 0$
解： $(x + 1) (x + 2) = 0$ ，
$∴ x + 1 = 0$ 或 $x + 2 = 0$ ，
∴ $x_{1} = - 1$ 或 $x_{2} = - 2$ .
Ⅱ.解方程： $x^{2} + 6 x - 7 = 0$ ，
解： $x^{2} + 6 x - 7 = 0$ ，
∴ $x^{2} + 2 \times 3 x + 3^{2} - 3^{2} - 7 = 0$ ，
∴ ${(x + 3)}^{2} - 16 = 0$ ，
∴ ${(x + 3)}^{2} - 4^{2} = 0$ ，
∴ $(x + 3 + 4) (x + 3 - 4) = 0$ ，
∴ $(x + 7) (x - 1) = 0$ ，
∴ $x + 7 = 0$ 或 $x - 1 = 0$ ，
∴ $x_{1} = - 7$ 或 $x_{2} = 1$ .

(1)、【理解应用】
解方程： $x^{2} - 10 x - 39 = 0$

(2)、【拓展应用】
如图，有一块长宽分别为80 $c m$ ，60 $c m$ 的矩形硬纸板，在它的四个角上分别剪去四个相同的小正方形，然后将四周突出的部分折起来，就可以做成底面积为1500 $c m^{2}$ 的无盖的长方体盒子，求所剪去的小正方形的边长.

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