【提升版】北师大版数学九上2.3用公式法解一元二次方程同步练习

试卷更新日期：2024-07-17 类型：同步测试

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一、选择题

1. 关于x的一元二次方程（m﹣2）x²+4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）

A、m≤4 B、m≥4 C、m≥﹣4且m≠2 D、m≤4且m≠2

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2. 若关于x的一元二次方程 $(k + 2) x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 有实数根，则实数k的取值范围是（）

A、 $k > 3$ B、 $k \geq - 3$ C、 $k > - 3$ 且 $k \neq - 2$ D、 $k \geq - 3$ 且 $k \neq - 2$

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3. 已知方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，当 $b^{2} - 4 a c = 0$ 时，方程的解为（）

A、 $x = \pm \frac{b}{2 a}$ B、 $x = \pm \frac{b}{a}$ C、 $x = - \frac{b}{2 a}$ D、 $x = \frac{b}{2 a}$

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4. 已知某一元二次方程的两根为 $x = \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} + 4 \times 3 \times 1}}{2 \times 3}$ ，则此方程可能是（）

A、 $3 x^{2} + 5 x + 1 = 0$ B、 $3 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ C、 $3 x^{2} - 5 x - 1 = 0$ D、 $3 x^{2} + 5 x - 1 = 0$

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5. 已知关于 $x$ 的方程 ${kx}^{2} + (1 - k) x - 1 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、当 $k = 0$ 时，方程无解 B、当 $k = 1$ 时，方程有一个实数解 C、当 $k = - 1$ 时，方程有两个相等的实数解 D、当 $k \neq 0$ 时，方程总有两个不相等的实数解

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6. 实数a ， b在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x - 1 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、没有实数根 D、只有一个实数根

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7. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 为常数，点 $P (a ， c)$ 在第二象限，则关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根的情况为（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、没有实数根 D、无法判定

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8. 关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 给出下列说法：①若 $a + c = 0$ ，则方程必有两个实数根； ②若a+b+c=0，则方程必有两个实数根：③若 $b = 2 a + 3 c$ ，则方程有两个不等的实数根； ④若 $b^{2} - 5 a c < 0$ ，则方程一定没有实数根，其中说法正确的序号是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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二、填空题

9. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 5 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $m$ 的取值范围是．

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10. 关于x的一元二次方程（k-1）x²-2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．

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11. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 m x + m^{2} - m + 3 = 0$ 有实数根，则 $m$ 的取值范围是．

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12. 关于x的方程x²﹣（n+2）x $+ \frac{1}{4}$ n²﹣1＝0有两个相等的实数根，则n＝．

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13. 已知 $△ A B C$ 的两边 $A B$ 、 $A C$ 的长是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + k^{2} + k = 0$ 的两个实数根，第三边 $B C$ 的长为5，当 $△ A B C$ 是等腰三角形时，则k的值为．

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三、解答题

14. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (3 k + 1) x + 2 k^{2} + 2 k = 0$ .

(1)、求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；

(2)、若等腰 $△ A B C$ 的一边长 $a = 6$ ，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求k的值.

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15. 已知关于x的方程 $x^{2} - (m + 1) x + 2 (m - 1) = 0$ ．

(1)、求证无论m取何值，这个方程应有实数根；

(2)、若等腰 $△ A B C$ 的一边长为6，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求 $△ A B C$ 的周长．

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16. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $m$ ， $n$ ， $t (m ⩽ n)$ 分别是菱形 $A B C D$ 的两条对角线长和边长，这时我们把关于 $x$ 的形如 $m x^{2} + 2 \sqrt{2} t x + n = 0$ 的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”.请解决下列问题：

(1)、填空：①当 $m = 4$ ， $n = 8$ 时， $t =$ ；②用含 $m$ ， $n$ 的代数式表示 $t^{2} =$ ；

(2)、求证：关于 $x$ 的“菱系一元二次方程” $m x^{2} + 2 t x + \frac{1}{2} n = 0$ 必有实数根.

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17. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 中， $b = \sqrt{c - 1} + \sqrt{1 - c} - 2$ ．

(1)、解： $∵ c - 1 \geq 0$ ， $1 - c \geq 0$ ，
$∴ 1 \leq c \leq 1$ ，
$∴ c =$ ，此时 $b =$ ．

(2)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个相等的实数根，求方程的根．

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18. 已知关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + 1 = 0 (a \neq 0)$ 有两个相等的实数根，求 $\frac{a b^{2}}{{(a + 2)}^{2} - b^{2} - 4}$ 的值．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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