湖北省武汉市江岸区2023-2024学年八年级下学期数学期末试题卷

试卷更新日期：2024-07-17 类型：期末考试

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑.

1. 二次根式 $\sqrt{x - 3}$ 有意义的条件是（）

A、 $x \leq 3$ B、 $x \geq 3$ C、 $x < 3$ D、 $x > 3$

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2. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）

A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6

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3. 下列图象中不能表示y是x的函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 2$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{8} \div \sqrt{2} = \sqrt{2}$

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5. 将直线 $y = 2 x - 2$ 向上平移4个单位长度后，所得的直线的解析式为（）

A、 $y = 2 x$ B、 $y = 2 x - 4$ C、 $y = 2 x + 2$ D、 $y = 2 x - 6$

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6. 对甲、乙、丙、丁四名选手进行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为9.5环，方差如下表所示，则四名选手中成绩最稳定的是（）
选手
甲
乙
丙
丁
方差
1.34
0.16
2.56
0.21

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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7. 如图，函数 $y = k x + b$ 的图象与函数 $y = m x + n$ 的图象交于点 $P (- 2, 3)$ ，其中k ， b ， m ， n为常数， $k > 0 > m$ .则关于x的不等式 $k x + b \leq m x + n$ 的解集是（）

A、 $x > - 2$ B、 $x \geq - 2$ C、 $x < - 2$ D、 $x \leq - 2$

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8. 《九章算术》记载：今有坦高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下﹐蔓日长一尺.问几何日相逢?意思是有一道墙，高9尺，在墙头种一株瓜，瓜蔓沿墙向下每天长7寸（1尺=10寸）；同时地上种着瓠沿墙向上每天长1尺，问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇？小李绘制如图的函数模型解决了此问题.图中h（单位：尺）表示瓜蔓与瓠蔓离地面的高度，x（单位：天）表示生长时间.根据小李的模型，点P的横坐标为（）

A、 $\frac{9}{8}$ B、 $\frac{90}{17}$ C、 $\frac{9}{17}$ D、 $\frac{17}{3}$

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9. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架 $A B C D$ ， $A B = 5$ ， $A D = 8$ .然后向左扭动框架，得到新的四边形 $B C E F$ （点E在 $B C$ 的上方）.若在扭动后四边形面积减少了8，点P和Q分别为四边形 $A B C D$ 和四边形 $B C E F$ 对角线的交点，则 $P Q$ 的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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10. 1765年数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中首次提出定理：三角形三边的垂直平分线的交点，三条中线的交点以及三条高线的交点在一条直线上，这条线也被称为欧拉线.如图，已知 $△ O A B$ 的三个顶点分别为 $O (0, 0)$ ， $A (2, 4)$ ， $B (6, 0)$ ，则 $△ O A B$ 的欧拉线的解析式为（）

A、 $y = 2 x - 2$ B、 $y = \frac{x}{3}$ C、 $y = - x + 4$ D、 $y = - 2 x + \frac{20}{3}$

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二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡的指定位置.

11. 计算： $\sqrt{16}$ = ．

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12. 一次函数 $y = 3 x - 2$ 的图象不经过第象限.

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13. 小明在课间活动中进行了8次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为160，163，160，157，
160，161，162，165.则160，163，160，157，160，161，162，165这8个数的众数为.

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14. 如图，点E为正方形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 上一点， $∠ A D E = 20 °$ ，点F在边 $A B$ 上， $E D = B F$ ，则 $∠ F E D =$

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15. 已知一次函数 $y = k x + k + 4$ （k为常数），其图象为直线l.下列四个结论：
①无论k取何值，直线l都过点 $A (- 1, 4)$ ；
②一次函数 $y = 2 x$ 的图象与直线l没有公共点，则 $k = 2$ ；
③直线l不经过第三象限，则 $- 4 \leq k < 0$ ；
④点 $B (x_{1}, y_{1})$ 和 $C (x_{2}, y_{2})$ 在直线l上，若 $(x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) < 0$ ，则 $k > - 1$ ；
其中正确的是.（填序号）

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16. 如图，点O为等边 $△ A B C$ 边 $C B$ 的中点.以 $B C$ 为斜边作 $R t △ D B C$ （点A与点D在 $B C$ 同侧且点D在 $△ A B C$ 外），点F为线段 $O D$ 上一点，延长 $A F$ 到点E使 $E F = A F$ ， $∠ A B D = ∠ D B E$ ，若 $O F = 2$ ， $C E = 5$ ，则 $B E =$ 。

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三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.

17. 计算

(1)、 $\sqrt{18} - \sqrt{2} + \sqrt{32}$

(2)、 $(2 \sqrt{2} + \sqrt{6}) (2 \sqrt{2} - \sqrt{6})$

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18. 根据下列条件分别确定函数 $y = k x + b$ （k ， b为常数）的解析式：

(1)、y与x成正比例，当 $x = 2$ 时， $y = 4$ ；

(2)、直线 $y = k x + b$ 经过点 $(3, 6)$ 与点 $(1, 0)$ .

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19. 为了积极倡导“绿色出行，低碳生活”，某市积极构建公共绿色交通体系，公共自行车的投入使用给市民的出行带来很多便利.某学校学习小组为了解某小区一周内公共自行车的使用情况，随机调查了该小区部分居民一周内平均每天使用公共自行车的骑车时间t（单位：分钟），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图，如图所示，请你根据图表提供信息解答下列问题：
平均每天骑车时间统计表
组别骑车时间t（分钟）人数（频数）
A t≤10 16
B 10＜t≤20 m
C 20＜t≤30 28
D t＞30 4

(1)、 $m =$ ， $n =$ ；

(2)、随机抽取的这部分居民平均每天骑车时间的中位数落在组（填组别字母）；

(3)、若该小区居民总数为2400人，试估计该小区一周内平均每天使用公共自行车的骑车时间 $t > 20$ （分钟）的人数.

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20. 如图，已知矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O ，过点C作 $C E ∥ B D$ ，过点D作 $D E ∥ A C$ ， $C E$ 与 $D E$ 相交于点E.

(1)、求证：四边形 $O C E D$ 是菱形；

(2)、若 $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，求四边形 $O C E D$ 的面积.

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21. 如图是由小正方形组成的 $7 \times 7$ 网格，每个小正方形的顶点叫做格点.A ， B ， C ， E ， F都是格点，N在 $A B$ 上，M在 $E F$ 上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.

(1)、在图（1）中，先以 $A B$ ， $A C$ 为邻边作平行四边形 $A B D C$ ，再在 $C D$ 上画点H ，使得 $D H = A N$ ；
图（1）

(2)、在图（2）中，先画点F关于 $A E$ 的对称点P ，再过点M作 $A E$ 的平行线l.
图（2）

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22. 某网络公司给出A ， B两种上网的月收费方式（如下表）
收费方式
月使用费/元
包时上网时间/h
超时费/（元/h）
A
30
30
$a (a > 0)$
B
45
50
3
设上网时间为t（单位：h）， $0 < t \leq 720$ ，根据表格回答：

(1)、请写出B种方式上网费用y（单位：元）关于上网时间t（单位：h）的函数解析式；

(2)、若 $a = 3$ ，选取B种方式的上网费用低于A种方式时，求上网时间t的取值范围；

(3)、若 $a < 2.9$ ，当上网时间为m时，A方式和B方式的上网费用相同，若m的值存在两个，直接写出a的取值范围.

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23. 问题提出
如图1，点F是正方形 $A B C D$ 边 $D C$ 上一点， $∠ B A F$ 的角平分线交边 $B C$ 于点E ，探究线段 $B E$ ， $D F$ 和 $A F$ 之间的数量关系.

(1)、问题探究
先将图1问题特殊化，如图2，若 $A B = 4$ ， $B E = E C$ ，直接写出下列线段的长度， $B E =$ ， $D F =$ ， $A F =$ ；

(2)、如图1，再探究一般情形中线段 $B E$ ， $D F$ 和 $A F$ 的数量关系，并证明你的结论；

(3)、问题拓展
如图3，四边形 $A B D C$ 中， $B A = A C = C D = 6$ ， $A C ∥ D B$ ， $∠ B = 60 °$ ，点F在 $C D$ 的延长线上， $A E$ 平分 $∠ B A F$ 交 $B D$ 于点E ， $B E = 4.2$ ，直接写出 $F D$ 的长度.

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24. 在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程.
问题呈现  过点 $C (a, b)$ 的直线 $y = k x + c$ （k ， c为常数且 $k \neq 0$ ）分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A和B.探究并说明 $\frac{a}{O A} + \frac{b}{O B}$ 是定值.

(1)、特例探究  如图1，过点 $C (2, 2)$ 的直线 $y = - 2 x + 6$ 分别交x轴和y轴于点A和B ，求 $\frac{1}{O A} + \frac{1}{O B}$ 的值；
图1

(2)、一般证明  ① $a = b = 2$ 时，直接写出 $\frac{1}{O A} + \frac{1}{O B} =$     ▲     ； $a = 2$ ， $b = 3$ 时，直接写出 $\frac{2}{O A} + \frac{3}{O B} =$     ▲     ；
②求出 $\frac{a}{O A} + \frac{b}{O B}$ 的值；

(3)、类比推广  如图2，已知 $H (- 4, 0)$ ， $T (0, 2)$ ，点M在x轴的正半轴上，过M且不与y轴平行的直线l交直线 $H T$ 于第一象限点N ，若总有 $\frac{4}{H M} + \frac{\sqrt{5}}{H N} = 1$ ，请探究：直线l是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由.
图2

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组别	骑车时间t（分钟）	人数（频数）
A	t≤10	16
B	10＜t≤20	m
C	20＜t≤30	28
D	t＞30	4

收费方式	月使用费/元	包时上网时间/h	超时费/（元/h）
A	30	30	$a (a > 0)$
B	45	50	3

选手	甲	乙	丙	丁
方差	1.34	0.16	2.56	0.21