【培优版】北师大版数学八上2.7二次根式同步练习

试卷更新日期：2024-07-17 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知实数 $a$ 在数轴上的对应点位置如图所示，则化简 $| a - 1 | - \sqrt{{(a - 2)}^{2}}$ 的结果是（）

A、 $3 - 2 a$ B、 $- 1$ C、1 D、 $2 a - 3$

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2. 下列四个命题中，真命题是（）

A、若 $\sqrt{x - 3}$ 有意义，则 $x ≥ 3$ B、两个无理数的和还是无理数 C、体积为8的正方体，边长是无理数 D、两直线被第三条直线所截，内错角相等

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3. 下列各实数中最大的一个是（）

A、5× $\sqrt{0.039}$ B、 $\frac{3.141}{π}$ C、 $\frac{7}{\sqrt{14} + \sqrt{7}}$ D、 $\sqrt{0.3}$ + $\sqrt{0.2}$

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4. 已知实数a满足条件 $| 2011 - a | + \sqrt{a - 2012} = a$ ，那么 $a - 2011^{2}$ 的值为 $($ 　　 $)$

A、2010 B、2011 C、2012 D、2013

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5. 已知 $a 、 b$ 是实数，且 $b = 3 + \sqrt{1 - 4 a} - \sqrt{4 a - 1}$ ，则 $\sqrt{a b}$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 化简二次根式 $a \sqrt[]{- \frac{a + 2}{a^{2}}}$ 的结果是（）

A、 $\sqrt{- a - 2}$ B、－ $\sqrt{- a - 2}$ C、 $\sqrt{a - 2}$ D、－ $\sqrt{a - 2}$

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7. “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3}$ ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，设x= $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，易知 $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ > $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，故x>0，由x²= ${(\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2}$ = $3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} - 2 \sqrt{(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}$ =2，解得x= $\sqrt{2}$ ，即 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{2}$ 。根据以上方法，化简 $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \sqrt{6 - 3 \sqrt{3}} - \sqrt{6 + 3 \sqrt{3}}$ 后的结果为（）

A、5+3 $\sqrt{6}$ B、5+ $\sqrt{6}$ C、5- $\sqrt{6}$ D、5-3 $\sqrt{6}$

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二、填空题

8. 若最简二次根式 $\sqrt{m + 1}$ 与 $\sqrt{12}$ 是同类二次根式，则 $m =$ ．

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9. 如图，从一个大正方形中裁去面积为 $8 c m^{2}$ 和 $18 c m^{2}$ 的两个小正方形，则留下的阴影部分面积和为 $c m^{2}$ ．

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10. 已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足 $(a - 3)^{2} + \sqrt{b - 4} + | c - 5 | = 0$ ，则这个三角形的形状是．

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11. a、b、c是△ABC的三条边，化简 $\sqrt{(a - b + c)_{}^{2}} - \sqrt{(a - b - c)_{}^{2}} =_________.$

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12. 如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．若长方体的长、宽、高分别为5，2，3，则图①中截面的面积为．

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三、解答题

13. 北京时间10月2日，在杭州亚运会女子撑杆跳高决赛中，李玲刷新了由个人保持的赛会纪录，以4米63夺冠，实现了个人亚运会三连冠.据研究，撑杆跳高运动员起跳后身体重心提高的高度 $h$ （米）与其起跳速度 $v$ （米/秒）之间满足 $h = \frac{v^{2}}{2 g}$ （其中 $g = 10$ 米/秒）.若某运动员在训练中要使起跳后身体重心提高4米，则其起跳时的速度应为多少?（ $\sqrt{5} \approx 2.24$ ，结果保留整数）

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14. 先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}}$ 的化简，只要我们找到两个数a、b使 $a + b = m$ ， $a b = n$ ，这样 $(\sqrt{a})^{2} + (\sqrt{b})^{2} = m$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{n}$ ，那么便有 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}} = \sqrt{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^{2}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} (a > b)$ 例如：化简 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$
解：首先把 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ 化为 $\sqrt{7 + 2 \sqrt{12}}$ ，这里 $m = 7$ ， $n = 12$ ；
由于 $4 + 3 = 7$ ， $4 \times 3 = 12$ ，即 $(\sqrt{4})^{2} + (\sqrt{3})^{2} = 7$ ， $\sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12}$ ，
$∴ \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2 \sqrt{12}} = \sqrt{(\sqrt{4} + \sqrt{3})^{2}} = 2 + \sqrt{3}$
由上述例题的方法化简：

(1)、 $\sqrt{13 - 2 \sqrt{42}}$ ；

(2)、 $\sqrt{7 - \sqrt{40}}$ ；

(3)、 $\sqrt{2 - \sqrt{3}}$ .

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15. 交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是 $v = 16 \sqrt{d f}$ ，其中 $v$ 表示车速（单位：km/h）， $d$ 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m）， $f$ 表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得 $d = 20$ m， $f = 1.2$ ，该路段限速60km/h，该汽车超速了吗？请说明理由（已知： $\sqrt{2} \approx 1.4 ， \sqrt{3} \approx 1.7$ ）

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16. 阅读理解
“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法： $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3}$ ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 $\sqrt{3 + 5 \sqrt{5}} - \sqrt{3 - 5 \sqrt{5}}$

设 $x = \sqrt{3 + 5 \sqrt{5}} - \sqrt{3 - 5 \sqrt{5}}$ ，

易知 $\sqrt{3 + 5 \sqrt{5}} > \sqrt{3 - 5 \sqrt{5}}$

故 $x > 0$ ，由 $x^{2} = {(\sqrt{3 + 5 \sqrt{5}} - \sqrt{3 - 5 \sqrt{5}})}^{2}$

$= 3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} - 2 \sqrt{(3 + 5 \sqrt{5}) (3 - 5 \sqrt{5})}$

$= 2$

解得 $x = \sqrt{2}$ ，即 $\sqrt{3 + 5 \sqrt{5}} - \sqrt{3 - 5 \sqrt{5}} = \sqrt{2}$ ．

根据以上方法，化简 $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \sqrt{6 - 3 \sqrt{3}} - \sqrt{6 + 3 \sqrt{3}}$

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17. 如果一个数的平方等于 $a$ ，那么这个数叫做 $a$ 的平方根 $.$ 即：若 $x^{2} = a (a \geq 0)$ ，则 $x = \pm \sqrt{a}$ ，反之，如果一个数是 $a$ 的平方根，那么这个数的平方等于 $a$ ，即：若 $x = \pm \sqrt{a}$ ，则 $x^{2} = a (a \geq 0)$ ．
例如：
根据平方根的定义可得： $∵ x^{2} = 5$ ， $∴ x = \pm \sqrt{5}$ ．
根据平方根的定义也可得： $∵ \sqrt{7}$ 是 $7$ 的一个平方根， $∴ (\sqrt{7})^{2} = 7$ ．
根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题：

(1)、求下列各式中 $x$ 的值．
$① (x - 1)^{2} = 16$ ；
$② 5 (1 + x)^{2} = 7.2$ ．

(2)、求证： $(\sqrt{a})^{2} = a (a \geq 0)$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a b} (a \geq 0 ， b \geq 0)$ ．
证明： $∵ \sqrt{a}$ 是 $a$ 的平方根，
$∴ (\sqrt{a})^{2} = a$ ，
$∵ (\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^{2} = (\sqrt{a})^{2} (\sqrt{b})^{2} ($ 依据 $1)$ ，
$= a b ($ 依据 $2)$ ，
$∴ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a b} (a \geq 0 ， b \geq 0)$ ．
$①$ 填写推理依据．
依据 $1$ ： _▲ ．
依据 $2$ ：__▲__ ．
$②$ 计算： $- \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{32} \times \sqrt{3} \times (- \sqrt{27}) .$

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