【基础版】北师大版数学八上2.7二次根式同步练习

试卷更新日期：2024-07-17 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{0.3}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ D、 $\sqrt{6}$

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2. 若二次根式 $\sqrt{x - 3}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、x≥3 B、x≤3 C、x>3 D、x<3

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3. 在下列代数式中，不是二次根式的是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ C、 $\sqrt{x^{2}}$ D、 $\frac{2}{x}$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{27} \div \sqrt{3} = 3$ B、 $2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{2} = 6 \sqrt{5}$ C、 $3 \sqrt{3} \times 3 \sqrt{2} = 3 \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$

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5. 已知 $y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{1 - x} + x - 2$ ，则 $\sqrt{10 x + y}$ 的值为（）

A、5 B、3 C、 $- 3$ D、 $- 5$

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6. 计算 $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$ =（　　）

A、4 B、2 C、2 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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7. 已知 $\sqrt{20 n}$ 是整数，则满足条件的最小正整数n为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 如图，正方体的棱长为6cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点，一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径长是（）

A、12cm B、( $3 \sqrt{2}$ +6)cm C、 $3 \sqrt{10}$ cm D、9cm

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二、填空题

9. 要使 $\sqrt{2 x - 6}$ 有意义，则x的取值范围为.

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10. 化简： $\sqrt{72}$ = ．

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11. 化简： $\sqrt{\frac{2}{5}}$ =

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12. 已知最简二次根式 $\sqrt{4 a + 3 b}$ 与 $\sqrt[b + 1]{2 a - b + 6}$ 可以合并，则 $a + b$ 的值为.

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13. 已知实数a ， b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 $\sqrt{b_{}^{2}} + \sqrt{(a - b)_{}^{2}} =$ .

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三、解答题

14. 计算

(1)、 $\sqrt{5} \times \sqrt{2} \div 3 \sqrt{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2}$ ；

(2)、 $\sqrt{12} \times \sqrt{3} - \frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}$

(3)、 $(\sqrt{24} - \sqrt{\frac{1}{6}}) \div \sqrt{2}$

(4)、 $\frac{\sqrt{5} \times \sqrt{21}}{\sqrt{15}} - 14 \sqrt{\frac{1}{7}} - \sqrt[3]{- 8}$ .

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15. 已知 $a$ ， $b$ 两数在数轴上的表示如图所示，化简： $\sqrt{{(a + 2)}^{2}} - \sqrt{{(b - 2)}^{2}} + \sqrt{{(a + b)}^{2}}$ .

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16. 已知， $a = - 1 + \sqrt{2} ， b = - 1 - \sqrt{2}$ ，分别求出代数式 $a b ， \frac{b}{a} ， a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 的值．

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17. 阅读下列解题过程
例：若代数式 $\sqrt{(a - 1)^{2}} + \sqrt{(a - 3)^{2}}$ 的值是2，求a的取值范围
解：原式 $= | a - 1 | + | a - 3 |$ ，
当 $a < 1$ 时，原式 $= (1 - a) + (3 - a) = 4 - 2 a = 2$ ，解得 $a = 1$ （舍去）；
当 $1 \leq a \leq 3$ 时，原式 $= (a - 1) + (3 - a) = 2 = 2$ ，符合条件；
当 $a > 3$ 时，原式 $= (a - 1) + (a - 3) = 2 a - 4 = 2$ ，解得 $a = 3$ （舍去）．
$∴ a$ 的取值范围是 $1 \leq a \leq 3$ ．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：

(1)、当 $2 \leq a \leq 4$ 时，化简： $\sqrt{(a - 2)^{2}} + \sqrt{(a - 4)^{2}} =$ ．

(2)、若 $\sqrt{(a + 1)^{2}} + \sqrt{(a - 5)^{2}} = 10$ ，求a的取值范围．

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18. 我们知道 $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1$ ，因此将 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ 分子、分母同时乘“ $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ ”，分母就变成了1，原式可以化简为 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ ，所以有 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ．
请仿照上面的方法，解决下列各题．

(1)、化简： $\frac{1}{\sqrt{5} + 2} =$ ， $\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} =$ ；

(2)、若 $x = \frac{1}{3 + 2 \sqrt{2}}$ ， $y = \frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}}$ ，求 ${(x - y)}^{2} - x y$ 的值；

(3)、根据以上规律计算下列式子的值： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2021}}$ ．

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二、填空题

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