【培优版】新北师大版(2024)数学七上 3.3探索规律与表达同步练习

试卷更新日期：2024-07-16 类型：同步测试

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一、选择题

1. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 ${(a + b)}^{n}$ (n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”
${(a + b)}^{0} = 1$
${(a + b)}^{1} = a + b$
${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
${(a + b)}^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$
${(a + b)}^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}$
…
则 ${(a + b)}^{10}$ 中，第三项系数为(　　)

A、45 B、50 C、55 D、60

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二、填空题

三、解答题

2. 下列图形都是由同样大小的⊙按一定规律所组成的，其中第1个图形中一共有5个⊙，第2个图形中一共有8个⊙，第3个图形中一共有11个⊙，…，按此规律排列．

(1)、第4个图形中一共有个⊙；

(2)、第1001个图形中基本图形的个数有个⊙；

(3)、第n个图形中基本图形的个数有个⊙．

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3. 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

(1)、根据上面多面体模型，完成表格中的空格；
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
正四面体
4
①
6
长方体
8
6
②
正八面体
③
8
12
正十二面体
④
12
30

(2)、你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是；

(3)、一个多面体的面数比顶点数小12，且有42条棱，则这个多面体的顶点数是．

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4. 观察下面的变形规律：
$\frac{1}{1 \times 3} = \frac{1}{2} \times (1 - \frac{1}{3})$
$\frac{1}{3 \times 5} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$
$\frac{1}{5 \times 7} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{5} - \frac{1}{7})$
……
解答下面的问题：

(1)、第5个式子为；

(2)、若n为奇数正整数，请你猜想 $\frac{1}{n (n + 2)} =$ ；

(3)、根据你得到的启示，试解答下题：若有理数a ， b满足 $| a - 1 | + {(b - 3)}^{2} = 0$ ，求 $\frac{1}{a b} + \frac{1}{(a + 2) (b + 2)} + \frac{1}{(a + 4) (b + 4)} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{(a + 100) (b + 100)}$ 的值．

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5. 为保障校园体育活动安全有序的开展，学校计划利用假期在足球场四周安装安全防护栏，平面示意图如图2所示，假如每张防护栏长2.5米，每两张防护栏中间加装一个立柱进行加固，每根立柱宽为0.2米．

(1)、根据上图及图中所含的规律，将表格补充完整．
立柱根数
1
2
3
4
5
…
护栏总长度（米）
0.2
2.9
8.3
…

(2)、设立柱根数为 $n$ ，请用含 $n$ 的代数式表示护栏总长度，并求出当把 $n = 100$ 时，护栏的总长度．

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多面体	顶点数（V）	面数（F）	棱数（E）
正四面体	4	①	6
长方体	8	6	②
正八面体	③	8	12
正十二面体	④	12	30

立柱根数	1	2	3	4	5	…
护栏总长度（米）	0.2	2.9		8.3		…

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二、填空题

三、解答题

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