四川省成都市金牛区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-07-06 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）

1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知 $a > b$ ，下列不等式中，一定正确的是（）

A、 $a - 8 > b - 8$ B、 $a - 3 > b + 3$ C、 $- 6 a > - 6 b$ D、 $a^{2} > b^{2}$

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3. 等腰三角形一边长 $12 cm$ ，另一边长 $5 cm$ ，它第三边长可以是（）

A、 $17 cm$ B、 $12 cm$ C、 $7 cm$ D、 $5 cm$

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4. 要使分式 $\frac{x + 3}{x - 4}$ 无意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x = 4$ B、 $x = - 3$ C、 $x >4$ D、 $x < 4$

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5. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，下列条件不能判定四边形 $A B C D$ 是平行四边形的是（）

A、 $A D ∥ B C, A B ∥ D C$ B、 $A B = D C$ ， $A D = B C$ C、 $A D ∥ B C$ ， $A B = D C$ D、 $O A = O C$ ， $O B = O D$

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6. 若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（）边形

A、六 B、五 C、四 D、三

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 50 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $c$ 逆时针旋转30°得到 $△ D E C$ ，连接 $A D$ ，则 $∠ B A D$ 的度数为（）

A、20° B、25° C、30° D、45°

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8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（）

A、 $\frac{900}{x + 3}$ ＝2× $\frac{900}{x - 1}$ B、 $\frac{900}{x - 3}$ ＝2× $\frac{900}{x + 1}$ C、 $\frac{900}{x - 1}$ ＝2× $\frac{900}{x + 3}$ D、 $\frac{900}{x + 1}$ ＝2× $\frac{900}{x - 3}$

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二、填空题（每小题4分，共20分）

9. 因式分解： $3 x^{2} - 27$ =.

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10. 已知一次函数 $y = 3 x - 7$ ，则 $y < 0$ 的最大整数解是 $x =$ ．

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11. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 2, 0)$ 和 $B (0, 3)$ ，将线段 $A B$ 平移到线段 $C D$ （点 $A$ 对应点 $C$ ，点 $B$ 对应点 $D$ ），已知点 $C$ 坐标为 $(4, - 3)$ ，则点 $D$ 坐标为．

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12. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $E$ 为边 $C D$ 的中点，连结 $A E$ 、 $B E$ ．若 $△ A D E$ 的面积为3，则 $▱ A B C D$ 的面积为．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中，以点 $B$ 为圆心、适当长度为半径画弧，分别交 $A B$ 、 $B C$ 于点 $P$ ， $Q$ ，再分别以点 $P$ ， $Q$ 为圆心、大于 $\frac{1}{2} P Q$ 的长度为半径画弧，两弧交于点 $M$ ，作射线 $B M$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $D E ∥ B C$ 交 $A B$ 于点 $D$ ．若 $△ A B E$ 周长为28， $B E = 10$ ，则 $△ A D E$ 的周长为．

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三、解答题（共48分）

14. （1）解不等式组： $\{\begin{matrix} 4 (x + \frac{1}{2}) > 5 x - 1 ① \\ \frac{x - 2}{3} - 1 < \frac{3 x + 1}{2} ② \end{matrix}$ ；
（2）解分式方程： $\frac{2}{x - 4} + \frac{3 x}{4 - x} = 2$ ．

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15. 先化简，再求值：（1﹣ $\frac{3}{x + 2}$ ）÷ $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{3 x + 6}$ ，其中x＝ $\sqrt{3}$ +1．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (- 5, 1)$ ， $B (- 3, 4)$ ， $C (- 1, 2)$ ．

(1)、将 $△ A B C$ 先向右平移5个单位再向下平移2个单位得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，写出点 $A_{1}$ 的坐标为；

(2)、两出 $△ A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 后的图形 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；写出点 $A_{2}$ 的坐标为．
（提示：作图时，先用 $2 B$ 铅笔作图，确定不再修改后用中性笔描黑）

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17. 在 $Rt △ A B C$ 中，如图， $∠ A C B = 90 °$ ，在边 $B C$ 的中垂线上有两点 $D$ 和 $E$ ，满足 $∠ A D C = ∠ D B E$ ，连接 $C E$ ．

(1)、求证：四边形 $A D E C$ 是平行四边形；

(2)、若 $∠ A B C = 30 °$ ， $A B = 6$ ，求四边形 $A D E C$ 的面积．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C =45 °$ ， $C D ⊥ A B$ ， $A E ⊥ B C$ ， $A C = \sqrt{5}$ ， $A D = 1$ ．

(1)、求线段 $B E$ 的长；

(2)、如图2，连接 $D E$ ，把线段 $D E$ 绕点 $E$ 逆时针旋转90°到 $F E$ ，连接 $D F$ ，取线段 $D F$ 的中点 $G$ ，连接 $B G$ ，请判断线段 $A C$ 与 $B G$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、如图3，点 $P$ 是线段 $C D$ 上一点，把线段 $P B$ 绕点 $B$ 逆时针旋转45°得到 $M B$ ，连接 $D M$ ，请直接写出线段 $D M$ 的最小值．

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四、填空题（每小题4分，共20分）

19. 已知 $a - b = 2 \sqrt{3}$ ， $a b = 1$ ，则 $2 a^{3} b - 4 a^{2} b^{2} + 2 a b^{3} =$ ．

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20. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2 x}{x - 1} - 1 = \frac{a}{x - 1}$ 有增根，则 $a$ 的值是．

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21. 关于 $x$ 的不等式 $a x - b > 2 b$ 的解集是 $x < 1$ ，则不等式 $b x - a > 2 a$ 的解集是．

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22. 如图， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ， $△ B D E$ 是等腰三角形， $B D = D E$ ，点 $E$ 在 $B C$ 的延长线上，连接 $C D$ ，点 $E$ 关于 $C D$ 的对称点 $E^{'}$ 在 $A C$ 边上，连接 $D E^{'}$ 交 $B C$ 于点 $G$ ，点 $F$ 是 $A B$ 的中点，连接 $F G$ ，若 $C E = 1$ ， $B C = 3$ ，则 $F G =$ ．

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23. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A O B$ 是等边三角形，点 $A (2, 0)$ ，直线 $l : y = x + 1$ 绕 $x$ 轴上一点 $M$ 顺时针旋转120°，得到的直线 $l^{'}$ 恰好经过点 $B$ ，则点 $M$ 的坐标是．

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五、解答题（共30分）

24. 2024年成都世界园艺博览会的主题是“公园城市美好人居”，成都市的市花芙蓉是本次博览会的会花．现有 $A$ ， $B$ 两种以芙蓉为主题的文创商品，已知360元购买的 $A$ 种商品件数比540元购买的 $B$ 种商品件数少2件， $B$ 种商品单价是 $A$ 种商品单价的1.25倍．

(1)、求 $A$ 、 $B$ 两种商品的单价；

(2)、现在购买一件 $B$ 种商品赠送一件 $A$ 种商品，若顾客需要两种商品共180件，费用不超过4590元，且 $B$ 种商品数量少于 $A$ 种商品数量的 $\frac{4}{5}$ ，问采购方案有多少种？

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25. 如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ，直线 $l$ 关于 $y$ 轴对称的直线与 $x$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求直线 $B C$ 的解析式；

(2)、如果一条对角线将凸四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形称为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．在平面内是否存在一点 $D$ ，使得四边形 $A B C D$ 是以 $A C$ 为“界线”的“等腰四边形”，且 $A D = A B$ ？若存在，求点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、如图2，点 $M$ 在直线 $l$ 上，横坐标为 $- \frac{1}{4}$ ，直线 $M E$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $E$ ，与 $y$ 轴交于点 $F$ ，当常数 $m$ 等于多少时， $\frac{m}{O F} + \frac{1}{O E}$ 为定值？

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26. 平行四边形 $A B C D$ 中， $B D$ 是对角线，过点 $B$ 作 $A D$ 、 $C D$ 的垂线，垂足点 $E$ 在 $A D$ 边上，垂足点 $F$ 在 $C D$ 延长线上， $∠ A = 45 °$ ， $A B = 6$ ， $D F = 2$ ．

(1)、如图1，求 $△ B D F$ 的面积；

(2)、如图2，连接 $E F$ ，点 $G$ 是 $E F$ 的中点，求 $B G$ 的长；

(3)、如图3， $B F$ 与 $A D$ 交点为 $P$ ， $∠ M B N = 45 °$ ， $∠ M B N$ 的两边 $B M$ ， $B N$ 分别与 $A D$ ， $C D$ 所在直线交于点 $M$ 、 $N$ ， $∠ M B N$ 绕点 $B$ 逆时针旋转，当点 $M$ 从点 $A$ 运动到点 $P$ 时，求线段 $B N$ 中点 $H$ 的运动路径长．

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