浙江省杭州市上城区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-07-08 类型：期末考试

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一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 下列方程中是一元二次方程的是（）

A、 $x + y^{2} = 2$ B、 $x + 4 = 2$ C、 $x^{2} + 4 x = 2$ D、 $x^{2} + \frac{1}{x} = 2$

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2. 下列电视台标志是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{9} = \pm 3$ B、 $\pm \sqrt{9} = - 3$ C、 $\sqrt{{(- 9)}^{2}} = - 9$ D、 $\sqrt{{(- 9)}^{2}} = 9$

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4. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（　　）

A、三角形 B、四边形 C、五边形 D、六边形

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5. 在平面直角坐标系中，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象如图所示，则k的值可能是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 在一些大型比赛中，主持人会说：“去掉一个最高分，去掉一个最低分，××的最后得分是…”，一组数据去掉一个最高分和一个最低分之后，统计量一定不会发生变化的是（）

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差

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7. 用反证法证明：等腰 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B > ∠ A$ ，则 $∠ A < 45 °$ ，第一步应假设（）

A、 $∠ A \leq 45 °$ B、 $∠ A = 45 °$ C、 $∠ A \leq 45 °$ D、 $∠ A \geq 45 °$

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8. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $D B = D C$ ， $A E ⊥ B D$ 于点 E，则（）

A、 $∠ B A E + ∠ C = 90 °$ B、 $∠ C - ∠ B A E = 90^{\circ}$ C、 $2 ∠ C - ∠ B A E = 90 °$ D、 $2 ∠ C + ∠ B A E = 180 °$

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9. 反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x}$ ， $y_{2} = - \frac{2 k}{x} (k \neq 0)$ $，$ 当 $a \leq x \leq b$ （b，a为常数，且 $b > a > 0$ ）时， $y_{1}$ 的最小值为m， $y_{2}$ 的最大值为n，则 $\frac{m}{n}$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ 或 $- 2$ D、 $- \frac{b}{2 a}$

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10. 在菱形 $A B C D$ 中，点O为对角线 $B D$ 的中点，点E、F分别为线段 $A B$ 、 $A D$ 上的点， $E O$ 的延长线交线段 $C D$ 于点H， $F O$ 的延长线交线段 $C B$ 于点 G，连接 $E G$ 、 $G H$ 、 $H F$ 、 $F E$ ，以下结论：① $E F = G H$ ；②若 $E G ⊥ B D$ ，则 $A E = C G$ ；③存在无数个点E，使得四边形 $E F H G$ 为菱形；④若四边形 $E F H G$ 为矩形，则 $A E = A F$ ．其中正确的结论是（）

A、①②③ B、③④ C、①②④ D、①②③④

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二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．

11. 若二次根式 $\sqrt{x + 2}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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12. 已知 $x = 2$ 是一元二次方程 $x^{2} - m x = 0$ 的一个解，则m的值是．

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13. 某班有40名学生，其中20名男生的平均身高为m厘米，20名女生的平均身高为n厘米，则全班40名学生的平均身高为米．

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14. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A C$ 和 $B D$ 为两条对角线，分别作 $∠ D A O$ 和 $∠ B A O$ 的角平分线交 $B D$ 于点N和M，且 $∠ M A N = ∠ A D C$ ，则 $∠ A B C =$ °．

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15. 某商品原来售价每千克16元，后续由于成本提升，经过连续两次提价，现在售价每千克25元，则该商品平均每次提价的百分率是．

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16. 在矩形 $A B C D$ 中，点F为边 $A D$ 的中点，连接 $B F$ ，将 $△ A B F$ 沿直线 $B F$ 翻折，使得点A与点 H重合， $F H$ 的延长线交线段 $B C$ 于点 G， $B H$ 的延长线交线段 $C D$ 于点 E， $A B = 6$ ，若点 E 为线段 $C D$ 的中点，则线段 $B C$ 的长为，线段 $B G$ 的长为．

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三、解答题：本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{12} - \sqrt{\frac{1}{3}}$ ；

(2)、 $\sqrt{24} \times \sqrt{3} \div \sqrt{\frac{1}{2}}$ ．

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18. 解方程：

(1)、 $x^{2} = 3 x$ ；

(2)、 $2 x^{2} - x - 4 = 0$ ．

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19. 某校七、八年级开展了综合实践知识竞赛，按100分制进行评分，为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩x（单位：分）进行分析，过程如下：
【收集数据】
七年级：74，82，82，93，90，82，85，70，62，80．
八年级：成绩处于 $80 < x \leq 90$ 组的学生的具体成绩：83，90，84，83，83．
【整理数据】
年级
$0 < x \leq 70$
$70 < x < 80$
$80 < x \leq 90$
$90 < x \leq 100$
七年级
2
2
5
1
八年级
2
2
5
1
【分析数据】
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
a
82
82
$76.6$
八年级
80
b
83
72
【应用数据】

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ；

(2)、若学生的竞赛成绩超过80分为“优秀”，请估计该校参加竞赛的八年级600名学生中，竞赛成绩为“优秀”的人数；

(3)、若甲同学在分析八年级数据时漏了一个数据80，算得9个数据的方差记为 $S^{2}$ ，则 $S^{2}$ 72；（填“>”、“=”或“<”）

(4)、根据以上统计结果，从不同角度说明七年级与八年级哪个年级成绩更优秀．

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20. 如图，四边形 $A B C D$ 为平行四边形，线段 $A C$ 为对角线，点E、F分别为线段 $B C$ 、 $A D$ 的中点，连接 $E F$ 交 $A C$ 于点 O．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 为平行四边形；

(2)、若 $O F = 3$ ，求 $C D$ 的长．

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21. 如图，一次函数 $y_{1} = a x + b (a \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ （ $k \neq 0$ 且 $x > 0$ ）的图象交于点 B，且点B的纵坐标为4，过一次函数图象上的点 $C (4, 6)$ ，作 $C E ⊥ y$ 轴，交y轴于点 E，交反比例函数的图象于点 D，且 $D E : D C = 1 : 2$ ．

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、根据图象直接写出 $y_{1} < y_{2}$ 对应的x的取值范围．

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22. 某学校准备修建一个面积为 $100 m^{2}$ 的矩形花圃，设矩形花圃的一边长为 $x m$ ，相邻的另一边长为 $y m$ ．

(1)、求y关于x的函数表达式；

(2)、若矩形的一边长x满足 $x > 50$ ，求另一边长y的取值范围；

(3)、杭杭在实践后得到如下结论：在面积为 $100 m^{2}$ 的情况下，不存在周长为 $30 m$ 的矩形．请判断他的说法是否正确，并说明理由．

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23. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E、H、F 分别在 $A B 、 B C 、 C D$ 边上， $E F$ 交对角线 $B D$ 于点G， $A H ⊥ E F$ 于点M，且点 M是 $A H$ 的中点，连接 $A G ， G H ， C G$ ．

(1)、求证： $∠ A E M = ∠ A H B$ ；

(2)、求证： $A G ⊥ G H$ ；

(3)、若 $A G = G E$ ，求 $A E : E B$ 的值．

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24. 综合与实践：

用硬纸板制作无盖纸盒
背景	在一次劳动课中，老师准备了一些长为 $80 cm$ ，宽为 $40 cm$ 的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）．
素材	配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求 $- 2 x^{2} + 4 x + 3$ 的最大值，过程如下： $- 2 x^{2} + 4 x + 3 = - 2 (x^{2} - 2 x + 1) + 3 + 2 = - 2 {(x - 1)}^{2} + 5$ ∴当 $x = 1$ 时， $- 2 x^{2} + 4 x + 3$ 有最大值5．
方案1	甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为 $x cm$ 的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形 $A B C D$ ．
方案2	乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为 $x cm$ 的正方形，再在中间裁掉一块正方形 $B C F E$ ，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形 $A B C D$ ．
任务1	在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为 ${cm}^{2}$ （用含x的代数式表示），并判断底面积能否达到 $900 {cm}^{2}$ ．
任务2	在方案2中，求制作无盖纸盒的底面 $A B$ 边的长．
任务3	若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小．
任务4	求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值．

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年级	$0 < x \leq 70$	$70 < x < 80$	$80 < x \leq 90$	$90 < x \leq 100$
七年级	2	2	5	1
八年级	2	2	5	1

年级	平均数	中位数	众数	方差
七年级	a	82	82	$76.6$
八年级	80	b	83	72