广东省深圳市龙华区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-07-14 类型：期末考试

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一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）

1. 深圳以群众多元化出行需求为落脚点，全力打造“惠民交通”．下面是深圳公共出行方式中常见的logo，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知 $x < y$ ，下列不等式一定成立的是( )

A、 $x - 2 > y - 2$ B、 $2 x > 2 y$ C、 $- 2 x > - 2 y$ D、 $x^{2} > y^{2}$

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3. 已知实数 $a$ 比 $b$ 大 $1$ ，则 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $0$ C、 $- 1$ D、 $a$

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4. 分式 $\frac{2 x}{x + 1}$ 有意义的条件是（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = 0$ C、 $x \neq 1$ D、 $x \neq - 1$

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5. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则 $∠ A B C$ 的度数为（）

A、 $135 °$ B、 $120 °$ C、 $105 °$ D、 $60 °$

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6. 多项式 $a^{2} + 1$ 与下列单项式的和不可以因式分解的是（）

A、 $- 2 a$ B、 $2 a$ C、 $- 2$ D、 $3$

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7. 如图1是生活中常见的一种停车位，将其抽象为 $▱ A B C D$ ，停放的小车可近似看成长方形 $E B F D$ ．如图 $2$ 所示，已知 $∠ A = 45 °$ ，车长 $B E$ 约为 $5$ 米，宽 $B F$ 约为 $2$ 米．若该车能完全停入车位内，则斜向车位的长 $A B$ 至少为（）

A、 $7$ 米 B、 $5 + \sqrt{2}$ 米 C、 $5 + 2 \sqrt{2}$ 米 D、 $7 \sqrt{2}$ 米

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8. 同一个数学式子在不同情境中表示不同的实际意义，下列描述的情境符合 $x + y < 5$ 的是（）

A、某设备单价为x万元/台，销售量y台，总销售额不超过5万元 B、记长方形花圃的长为 $x m$ ，宽为 $y m$ ，该花圃的周长小于 $10 m$ C、小明带5元外出购物，购买了一只铅笔x元，一个橡皮擦y元 D、甲乙两地相距 $5 km$ ，小明和小红分别从甲、乙两地同时出发相向而行，相遇时小明走了 $x k m$ ，小红走了 $y k m$

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9. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为 $x$ 株，则符合题意的方程是（）

A、 $3 (x - 1) = \frac{6210}{x}$ B、 $\frac{6210}{x - 1} = 3$ C、 $3 x - 1 = \frac{6210}{x}$ D、 $\frac{6210}{x} = 3$

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10. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = \sqrt{13}$ ， $A C = 2$ ． D为斜边 $A B$ 上一动点，连接 $C D$ ，过点D作 $D E ⊥ C D$ 交边 $B C$ 于点E，若 $△ B D E$ 为等腰三角形，则 $△ C D E$ 的周长为（）

A、 $\sqrt{13} + 3$ B、6 C、 $\sqrt{13} + 2$ D、5

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二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分）

11. 因式分解：a³－a=.

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12. 如图， $l_{1}$ 反映了某产品的销售收入 $y_{1}$ （元）与销售量x（吨）之间的关系， $l_{2}$ 反映了该产品的销售成本 $y_{2}$ （元）与销售量 $x$ （吨）之间的关系，当销售量 $x$ 超过吨时，生产该产品才能盈利．

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13. 某运动员参加射箭比赛（中靶有成绩，脱靶无成绩），总成绩为80环，共射出x支箭，其中2支箭脱靶，则中靶的箭的平均成绩用代数式表示为环．

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14. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $A D = 4$ ，点 $E$ 在 $∠ B A D$ 的平分线上，连接 $B E$ ， $C E$ ，若 $A E ⊥ B E$ ，则 $\frac{S_{△ A B E}}{S_{△ B C E}} =$ ．

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15. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $G$ 为 $A B$ 的中点，直角 $∠ M G N$ 绕点 $G$ 旋转，它的两条边分别交 $C A$ ， $B C$ 的延长线于点 $E$ ， $F$ ，连接 $E F$ ，当 $A E = 3$ ， $B F = 5$ 时， $E F$ 的长为．

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三、解答题（本题共7小题，共55分）

16. 解不等式组： $\{\begin{matrix} 4 x - 3 \leq 5 \\ \frac{1}{2} (x + 3) > 1 \end{matrix}$ ，并把解集表示在数轴上．

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17. 先化简，再求值： $(1 + \frac{3}{x - 1}) \div \frac{x^{2} - 4}{2 x - 4}$ ，其中 $x = 5$ ．

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18. 如图，在方格纸中，每个小方格的边长均为 $1$ 个单位长度，线段 $A B$ 的两个端点和点 $P$ 都在小方格的格点上．请根据下列要求用无刻度直尺作图．

(1)、将线段 $A B$ 平移，使平移后的线段 $m$ 经过点 $P$ ．
①请在图中画出一条符合要求的线段 $m$ ；
②写出线段 $A B$ 平移至线段 $m$ 的方法；

(2)、第（1）问的线段 $m$ 也可由线段 $A B$ 旋转得到，请作出其旋转中心 $O$ ．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D，E分别在 $A B$ ， $A C$ 上（不与端点重合），连接 $B E$ ， $C D$ ．

(1)、在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：使得 $C D = B E$ ，并说明理由；

(2)、若 $A E = 3$ ， $B E = 4$ ， $A B = 5$ ，求 $B C$ 的长．

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20. 根据以下素材，完成相关任务．

素材1	某果园有糯米糍和桂味两种荔枝供游客采摘，采摘的糯米糍比桂味每千克多10元，小亮采摘的两种荔枝均花费了300元，但桂味的重量是糯米糍的1.5倍．
素材2	某快递公司有一项运送荔枝服务：①从深圳寄送荔枝到A市按重量收费：当荔枝重量不超过6千克时，需要寄送费30元；当重量超过6千克时，超过部分另收m元/千克．②寄送荔枝重量均为整数千克．
素材3	电子存单1	电子存单2
	托寄物：荔枝物流公司：某快递公司计量重量：5千克件数：1 总费用：30元	托寄物：荔枝物流公司：某快递公司计量重量：8千克件数：1 总费用：42元
任务1	请求出在该果园采摘的糯米糍和桂味的单价．
任务2	根据以上信息可得 $m =$ ；当荔枝重量超过6千克时，寄送费用y（元）与荔枝重量x（千克）之间的函数关系式为．
任务3	小亮想要把采摘的部分荔枝寄送给A市的朋友，若寄送重量为15千克，则寄送费用最少需_______元．

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21. 某数学兴趣小组成员学习了平行四边形的判定定理后，提出“还有其他方法可以判定一个四边形是平行四边形吗？”小组成员根据之前的学习经验，进行了如下探究．
【发现问题】课本上的定理都是从边或对角线的关系来判定一个四边形是否为平行四边形，那可以从边与角的关系来探究新的判定方法吗？
【提出猜想】猜想一：一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；
猜想二：一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形．
【验证猜想】小组成员经过探索发现：猜想一为真命题，猜想二为假命题．请跟小组成员一起完善下列验证过程．

(1)、已知，如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ A = ∠ C$ ，求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

(2)、如图2，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $P$ 在 $B C$ 上，连接 $A P$ ，作线段 $A P$ 的垂直平分线 $l$ ，以直线 $l$ 为对称轴，作出点 $C$ 的对应点 $D$ ，连接 $A D$ ， $P D$ ．请在图中找出猜想二的一个反例图形，并说明理由．

(3)、【拓展延伸】在（2）的条件下，若 $∠ A B C = 60 °, A B = 8$ ，当四边形 $A B P D$ 的周长与以 $A$ ， $B$ ， $P$ 为顶点的平行四边形的周长相等时， $A P$ 的长为．

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22. 如图1， $▱ A B C D$ 绕点 $A$ 旋转得到平行四边形 $A E F G$ ，当点 $E$ 落在边 $C D$ 上时，连接 $B E$ ．

(1)、求证： $B E$ 平分 $∠ A E C$ ；

(2)、连接 $G B$ 交 $A E$ 于点 $M$ ．
①如图2，若平行四边形 $A B C D$ 为长方形，则 $G M$ 和 $B M$ 之间的等量关系为，并说明理由；
②如图3，若 $∠ B E C = 60 °, A B = 5, E C = 4$ ，请直接写出 $△ G A B$ 的面积．

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