2016年广西柳州市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）

试卷更新日期：2016-09-30 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合A={x|x（x﹣2）≤0}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）

A、{﹣2，﹣1} B、{1，2} C、{﹣1，0，1，2} D、{0，1，2}

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2. 已知 $\frac{z i}{i - 1} = i + 1$ ，则复数z在复平面上所对应的点位于（）

A、实轴上 B、虚轴上 C、第一象限 D、第二象限

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3. 已知向量 $\vec{a}$ =（x，y）， $\vec{b}$ =（﹣1，2），且 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ =（1，3），则| $\vec{a}$ ﹣2 $\vec{b}$ |等于（）

A、1 B、3 C、4 D、5

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4. 已知命题p：∀x∈（0，+∞），3^x＞2^x ，命题q：∃x∈（﹣∞，0），3x＞2x，则下列命题为真命题的是（）

A、p∧q B、p∧（￢q） C、（￢p）∧q D、（￢p）∧（￢q）

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5. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点F到渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、3

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6. 已知函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜ $\frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，f（x₀）=﹣f（0），则正确的选项是（）

A、φ= $\frac{π}{6}$ ，x₀=1 B、φ= $\frac{π}{6}$ ，x₀= $\frac{4}{3}$ C、φ= $\frac{π}{3}$ ，x₀=1 D、φ= $\frac{π}{3}$ ，x₀= $\frac{2}{3}$

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7.
阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）

A、﹣2 B、 $\frac{1}{2}$ C、﹣1 D、2

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8. 在长为2的线段AB上任意取一点C，以线段AC为半径的圆面积小于π的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{π}{4}$

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9. 某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）

A、2 B、4 C、 $2 + \sqrt{5}$ D、 $4 + 2 \sqrt{5}$

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10. 如图所示，直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁内接于半径为 $\sqrt{3}$ 的半球O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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11. 函数f（x）= ${\begin{matrix} a x^{2} + 1, x \geq 0 \\ (a + 2) e^{a x}, x ＜ 0 \end{matrix}$ 为R的单调函数，则实数a的取值范围是（）

A、（0，+∞） B、[﹣1，0） C、（﹣2，0） D、（﹣∞，﹣2）

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12. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=2，sinA= $\sqrt{3}$ sinB，则△ABC面积的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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二、填空题

13. 若x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \geq 0 \\ x - y \geq - 1 \\ 2 x - y \leq 2 \end{matrix}$ ，则目标函数z=2x+y的最小值是．

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14. （1﹣ $\frac{1}{x}$ ）（1+x）⁴的展开式中含x²项的系数为．

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15. 已知正实数x，y满足xy=x+y，若xy≥m﹣2恒成立，则实数m的最大值是．

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16. 过抛物线y²=2px（p＞0）焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，作AC，BD垂直抛物线的准线l于C，D，其中O为坐标原点，则下列结论正确的是．（填序号）
① $\vec{A C} + \vec{C D} = \vec{B D} - \vec{B A}$ ；
②存在λ∈R，使得 $\vec{A D} = λ \vec{A O}$ 成立；
③ $\vec{F C} \cdot \vec{F D}$ =0；
④准线l上任意一点M，都使得 $\vec{A M} \cdot \vec{B M}$ ＞0．

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三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，满足a₁= $\frac{1}{3} ， s_{n + 1} = s_{n} + 4 a_{n}$ +3．

(1)、证明：{a_n+1}是等比数列；

(2)、求数列{a_n}的前n项和为S_n ．

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18. 如图，正四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD的边长为4，PD=4，E为PA的中点，

(1)、求证：平面EBD⊥平面PAC；

(2)、求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．

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19. 某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升，下表是2011至2015年的统计数据：
年份
2011
2012
2013
2014
2015
居民生活用水量（万吨）
236
246
257
276
286

(1)、利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归直线方程y=bx+a；

(2)、根据改革方案，预计在2020年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预计该城市2023年的居民生活用水量．
参考公式： $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， a = \bar{y} - b \bar{x}$ ．

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20. 在平面直角坐标系xOy中，动点M到点F（1，0）的距离与它到直线x=2的距离之比为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求动点M的轨迹E的方程；

(2)、设直线y=kx+m（m≠0）与曲线E交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点（且C，D在A，B之间或同时在A，B之外）．问：是否存在定值k，对于满足条件的任意实数m，都有△OAC的面积与△OBD的面积相等，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

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21. 已知函数f（x）= $\frac{\ln x}{x}$ ﹣mx（m∈R）．

(1)、当m=0时，求函数f（x）的零点个数；

(2)、当m≥0时，求证：函数f（x）有且只有一个极值点；

(3)、当b＞a＞0时，总有 $\frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ＞1成立，求实数m的取值范围．

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22. 如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D．

(1)、求证：CE²=CD•CB．

(2)、若AB=2，BC= $\frac{12}{5}$ ，求CE与CD的长．

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23. 在直角坐标系xOy中，圆C₁和C₂的参数方程分别是 ${\begin{matrix} x = 2 + 2 \cos ϕ \\ y = 2 \sin ϕ \end{matrix}$ （φ为参数）和 ${\begin{matrix} x = \cos ϕ \\ y = 1 + \sin ϕ \end{matrix}$ （φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求圆C₁和C₂的极坐标方程；

(2)、射线OM：θ=a与圆C₁的交点为O、P，与圆C₂的交点为O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．

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24. 已知函数f（x）=|x﹣a|+m|x+a|．

(1)、当m=a=﹣1时，求不等式f（x）≥x的解集；

(2)、不等式f（x）≥2（0＜m＜1）恒成立时，实数a的取值范围是{a|a≤﹣3或a≥3}，求实数m的集合．

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年份	2011	2012	2013	2014	2015
居民生活用水量（万吨）	236	246	257	276	286