浙江省金华市东阳市横店八校联考2023-2024学年八年级下学期6月期末数学试题

试卷更新日期：2024-07-01 类型：期末考试

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一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1. 下列方程中是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} + 1 = 0$ B、 $x^{2} + y = 1$ C、 $2 x + 1 = 0$ D、 $\frac{1}{x} + x^{2} = 1$

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2. 下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（　　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列计算结果正确的是（）

A、 $\sqrt{{(- 5)}^{2}} = - 5$ B、 $3 \sqrt{2} - \sqrt{2} = 3$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2$ D、 ${(- \sqrt{3})}^{2} = 3$

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4. 某鞋店一天中卖出运动鞋11双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表：
尺码（cm） 23.5 24 24.5 25 25.5
销售量（双） 1 2 2 5 1
则这11双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别是（）

A、25，25 B、24.5，25 C、25，24.5 D、24.5，24.5

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5. 用反证法证明“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”时，第一步应假设（）

A、AB＝AC B、AB≠AC C、∠B＝∠C D、∠B≠∠C

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6. 一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ 的根的情况为（　　）

A、只有一个实数根 B、有两个相等的实数根 C、有两个不相等的实数根 D、没有实数根

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7. 取一张长与宽之比为 $7 ∶ 2$ 的矩形纸板，剪去四个边长为 $5 cm$ 的小正方形（如图），并用它做一个无盖的矩形形状的包装盒．要使包装盒的容积为 $240 {cm}^{3}$ （纸板的厚度略去不计），问这张矩形纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张矩形纸板的长为 $7 x$ 厘米，则由题意可列出的方程是（）

A、 $5 (7 x + 10) (2 x - 10) = 240$ B、 $5 (7 x + 10) (2 x + 10) = 240$ C、 $5 (7 x - 10) (2 x + 10) = 240$ D、 $5 (7 x - 10) (2 x - 10) = 240$

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8. 若三点 $(- 3, y_{1})$ ， $(1, y_{2})$ ， $(0, y_{3})$ 都在函数 $y = \frac{k}{x + 2}$ （常数 $k > 0$ ）的图像上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ C、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$ D、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$

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9. 如图，点 $O$ 为菱形 $A B C D$ 的对称中心，点 $E$ 从点 $A$ 出发沿 $A D$ 向点 $D$ 运动，移动到点 $D$ 停止，延长 $E O$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，则四边形 $A E C F$ 形状的变化依次为（）

A、平行四边形 $\to$ 正方形 $\to$ 平行四边形 $\to$ 菱形 B、平行四边形 $\to$ 矩形 $\to$ 平行四边形 $\to$ 菱形 C、平行四边形 $\to$ 正方形 $\to$ 矩形 $\to$ 菱形 D、平行四边形 $\to$ 矩形 $\to$ 正方形 $\to$ 菱形

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10. 赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形 $A B C D$ ，中间是一个小正方形 $E F G H$ ，连接 $D E$ ，并延长交 $B C$ 于点 $I$ ，若 $H$ 是 $A E$ 的中点， $A B = 5$ ，则 $E I$ 的长（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\sqrt{5}$

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二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分）

11. 二次根式 $\sqrt{x - 1}$ 中字母x的取值范围是．

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12. 四边形的内角和为．

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13. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + m - 4 = 0$ 的一个根是1，则常数 $m =$ ．

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14. 如图，一次函数 $y = k_{1} x + b$ 和（ $k_{1}$ 和 $b$ 均为常数且 $k_{1} < 0$ ）与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ （ $k_{2}$ 为常数且 $k_{2} < 0$ ）的图象交于 $A, B$ 两点，其横坐标为 $- 1$ 和3，则关于 $x$ 的不等式 $\frac{k_{2}}{x} > k_{1} x + b$ 的解集是．

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15. 在 $▱ A B C D$ 中， $A D = 5 cm$ ， $∠ B A D$ 的平分线交边 $C D$ 于点E， $∠ A B C$ 的平分线交边 $C D$ 于点F，当C、D、E、F相邻两点间的距离相等时，求线段 $A B$ 的长 $cm$ ．

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16. 以平行四边形 $O A B C$ 的顶点 $O$ 为原点， $O A$ 所在直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系， $D$ 为 $A B$ 边上一点， $∠ C O A = 60^{\circ}$ ，已知反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图象经过 $C, D$ 两点．
（1）若 $O C = 4, D$ 为 $A B$ 的中点，则 $D$ 点坐标．
（2）当 $D$ 为 $A B$ 的 $n$ 等分点， $\frac{A D}{A B} = \frac{1}{n}$ 时，则 $\frac{O C}{O A}$ 值．（用含 $n$ 的代数式表示）

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三、解答题（本大题共有8小题，共66分．请务必写出解答过程）

17. 计算，

(1)、 $(\sqrt{6})^{2} - \sqrt{(- 2)^{2}}$ .

(2)、 $\sqrt{18} - \sqrt{4} \times \sqrt{2} + \sqrt{\frac{1}{2}}$

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18. 解方程

(1)、 $x^{2} - 9 = 0$ ，

(2)、 $x^{2} - 6 x + 1 = 0$ ．

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19. 如图，在 $4 \times 4$ 正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．

(1)、请在网格中画出一组邻边长为 $\sqrt{5}$ ， $\sqrt{10}$ 的 $▱ A B C D$ ，使各顶点都在网格线的交点上；

(2)、题（1）中的 $▱ A B C D$ 是矩形吗？答：．（填“是”或“不是”）

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20. 某校为提高学生的汉字书写能力，开展了“汉字听写”大赛，七、八年级学生参加比赛，为了解这两个年级参加比赛学生的成绩情况，从中各随机抽取10名学生的成绩，数据如下（单位：分）：
七年级88 94 90 94 84 94 99 94 99 100
八年级84 93 88 94 93 98 93 98 97 99
【整理数据】
成绩 $x$ 年级
$80 \leq x < 85$
$85 \leq x < 90$
$90 \leq x < 95$
$95 \leq x \leq 100$
七年级
1
1
5
3
八年级
$a$
$b$
4
4
【分析数据】
统计量
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
93.6
94
$m$
24.2
八年级
93.7
$n$
93
20.4

(1)、计算表格中 $a, b, m, n$ 的值；

(2)、你认为哪个年级学生“汉字听写”大赛的成绩比较好？并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

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21. 如图， $▱ A B C D$ 中，过 $A C$ 的中点O的直线分别交 $C B$ ， $A D$ 的延长线于点E、F，连结 $D E$ ， $B F$ ．

(1)、求证： $△ A O F ≌ △ C O E$ ；

(2)、求证：四边形 $D E B F$ 是平行四边形．

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22. 据调查， $2023$ 年 $11$ 月底某景点累计接待游客为 $16$ 万人次，但 $2024$ 年 $1$ 月底，该景点火出圈了，接待游客突破 $25$ 万人次．景点附近某宾馆有 $50$ 间房供游客居住，当每间房每天定价为 $180$ 元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加 $10$ 元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出 $20$ 元的费用．

(1)、求 $2023$ 年 $11$ 月底到 $2024$ 年 $1$ 月底该景点累计接待游客的月平均增长率；

(2)、为了尽可能让游客享受更低的单价，当房价定为多少元时，宾馆当天利润为 $9450$ 元．

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23. 某兴趣小组利用代数推理方法发现了反比例函数 $y = \frac{a}{x} (a \neq 0)$ 一个有趣的结论．
小龙：如图1，直线 $y = x$ 与双曲线 $y = \frac{6}{x}$ 交于 $A, B$ 两点，根据中心对称性可以得到 $O A = O B$ ．

(1)、【轻松探究】
直线 $y = 3 x - 4$ 与双曲线 $y = \frac{6}{x}$ 交于 $A, B$ 两点，与 $x, y$ 轴分别交于点 $C, D$ ，试证明： $A C = B D$ ．
小华：如图2，直线 $y = 3 x - 4$ 与双曲线 $y = \frac{6}{x}$ 联立可得 $3 x^{2} - 4 x - 6 = 0$ ，进而求得 $x_{A} + x_{B}$ 与 $x_{C} + x_{D}$ 的值，由 $x_{C} + x_{D} = x_{A} + x_{B}$ ，证得线段 $A B$ 的中点与线段 $C D$ 的中点重合即可．
请完整的写出上述推理过程．

(2)、【深入探究】
直线 $y = k x + b (k > 0)$ 与双曲线 $y = \frac{a}{x} (a > 0)$ 交于 $A, B$ 两点，与 $x, y$ 轴分别交于点 $C$ ， $D$ ，试问： $A C = B D$ 还成立吗？请说明理由．

(3)、【模型应用】
如图3，直线 $y = x + b$ 与双曲线 $y = \frac{a}{x} (a > 0)$ 交于 $A, B$ 两点，与 $x, y$ 轴分别交于点 $C, D$ ．连接 $O A, O B$ ．若 $△ A O C$ 的面积为 $5, 2 C D = A B$ ，求 $a$ 的值．

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24. 如图1，已知菱形 $A B C D$ ，点E是对角线 $B D$ 上任意一点（不与端点B、D重合），连结 $A E$ ， $C E$ ， $A B = 5$ ， $B D = 6$ ．

(1)、求证： $A E = C E$ ．

(2)、若 $∠ A E C + 2 ∠ B A E = 180 °$ ，则 $\frac{S_{△ A B E}}{S_{菱形 A B C D}}$ 的值．

(3)、如图2，延长 $A E$ 交 $B C$ 于点F，若 $△ C D E$ 是等腰三角形，求 $E F$ 的长．

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成绩 $x$ 年级	$80 \leq x < 85$	$85 \leq x < 90$	$90 \leq x < 95$	$95 \leq x \leq 100$
七年级	1	1	5	3
八年级	$a$	$b$	4	4

尺码（cm）	23.5	24	24.5	25	25.5
销售量（双）	1	2	2	5	1