浙江省宁波市江北区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-07-07 类型：期末考试

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一、选择题 (每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1. 若二次根式 $\sqrt{x - 3}$ 有意义,则 $x$ 的取值范围是（）

A、x>3 B、 $x \geq 3$ C、x<3 D、 $x \leq 3$

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2. 下列用数学家命名的图形中，是中心对称图形的是（）

A、笛卡尔心形线 B、谢尔宾斯基地毯 C、赵爽弦图 D、斐波那契螺旋线

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ C、 $3 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 3$ D、 $\sqrt{24} \div \sqrt{6} = 4$

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4. 用配方法解关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ ，其变形后正确的结果是（）

A、 ${(x - 1)}^{2} = 5$ B、 ${(x + 1)}^{2} = 5$ C、 ${(x - 1)}^{2} = 3$ D、 ${(x + 1)}^{2} = 3$

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5. 若点 $(- 1,6)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，则该函数图象必过点（）

A、 $(1, 6)$ B、 $(- 3, - 2)$ C、 $(- 2, - 3)$ D、 $(- 6,1)$

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6. 某校 801 班全体同学参加学校 “红五月” 合唱大赛，根据所有评委老师的打分成绩进行数据统计，获得信息如下表所示 (10 分制，单位∶ 分) ∶
平均数
众数
中位数
方差
9.5
9.3
9.5
0.05
最后评分若要去掉一个最高分、去掉一个最低分，则下列统计量一定不发生变化的是（）

A、平均数 B、众数 C、中位数 D、方差

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7. 用反证法证明：“在锐角 $△ A B C$ 中，若 $∠ C < ∠ B < ∠ A$ ，则 $∠ B > 45 °$ ”，则应先假设（）

A、 $∠ B > 45 °$ B、 $∠ B \geq 45 °$ C、 $∠ B < 45 °$ D、 $∠ B \leq 45 °$

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8. 如图，平行四边形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，尺规作图操作步骤如下∶ ①以点 $C$ 为圆心， $O C$ 长为半径画弧； ②以点 $D$ 为圆心， $O D$ 长为半径画弧； ③两弧交于点 $E$ ，连结 $D E ， C E$ ．则下列说法一定正确的是（）

A、若 $A C ⊥ B D$ ，则四边形 $O C E D$ 是矩形 B、若 $A C = B D$ ，则四边形 $O C E D$ 是菱形 C、若 $A D ⊥ C D$ ，则四边形 $O C E D$ 是矩形 D、若 $A D = C D$ ，则四边形 $O C E D$ 是菱形

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9. 公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解方法：先构造边长为 $x$ 的正方形 $A B C D$ ，再分别以 $B C$ ， $C D$ 为边作另一边长5的长方形，最后得到四边形 $A I F H$ 是面积为64的正方形，如图所示，花拉子米寻找的是下列一元二次方程（）的解．

A、 $x^{2} + 10 x = 25$ B、 $x^{2} + 10 x = 64$ C、 $x^{2} + 10 x = 39$ D、 $x^{2} + 10 x = 89$

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10. 已知实数 $x, y$ 满足 $4 x^{2} - x + 4 x y + y^{2} = 1$ ，设 $M = x + y$ ，则 $M$ 的最大值是（）

A、 $\frac{7}{5}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{19}{16}$ D、1

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二、填空题 (每小题 3 分，共 18 分)

11. 任一凸多边形的外角和度数均为．

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12. 当x＝时， $\sqrt{x - 2}$ 的值最小．

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13. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + m = 0$ 有两个相等的实数根，则 $m$ 的值为．

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14. 如图 1，对 “三角形中位线定理” 进行拓展思考，可以提出以下三个命题∶
①若 $D E ∥ B C$ $, A D = B D$ ，则 $A E = C E$ ．
②若 $D E ∥ B C$ $， D E = \frac{1}{2} B C$ ，则 $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线．
③若 $A D = B D ， D E = \frac{1}{2} B C$ ，则 $A E = C E$ ．
图 2 是以上命题中某个假命题的反例示意图，则此假命题是 (选填①②③中其一)

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15. 如图，正方形 $A B C D$ 与正方形 $B E F G$ ，其中点 $A ， B ， E$ 三点共线，点 $C$ 在边 $B G$ 上，点 $O$ 是 $B F$ 与 $E G$ 的交点．若正方形 $B E F G$ 的面积是 9，则 $△ D E O$ 的面积为．

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16. 如图，点 $A 、 B$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图象上的两点，直线 $A B$ 交 $y$ 轴正半轴于点C，连接 $A O$ 并延长交反比例函数图象的另一支于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $∠ C A O$ 的角平分线的垂线，垂足为点 $E$ ，若点 $B$ 是线段 $A C$ 的中点且 $S_{△ A B E} = 6$ ，则 $k =$ ．

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三、解答题 (本大题有 8 小题，共 72 分)

17. 计算∶

(1)、 $(\sqrt{18} - \sqrt{8}) \times \sqrt{2}$

(2)、 ${(\sqrt{3} + 1)}^{2} - (\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)$

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18. 用适当的方法解方程∶

(1)、 $x^{2} + 6 x = 0$

(2)、 $2 (x^{2} - 4) = x (x - 2)$

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19. 下图是由含 $60 °$ 内角的菱形组成的一个 $5 \times 5$ 的网格图．请画出以 $A B$ 为边的格点四边形 $A B C D$ ，其中点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 均在格点上．要求如下∶

(1)、在图1中画一个是中心对称，但非轴对称的格点四边形 $A B C D$ ．

(2)、在图2中画一个是轴对称，但非中心对称的格点四边形 $A B C D$ ．

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20. 某校 801 班准备从甲，乙两名同学中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛．在相同条件下，分别对两名同学进行了 8 次一分钟跳绳测试，测试成绩如下 (单位∶ 个)∶
甲∶ $192 ， 186 ， 189 ， 189 ， 193 ， 194 ， 189 ， 188$ ；
乙∶ $195 ， 181 ， 193 ， 190 ， 183 ， 192 ， 190 ， 196$ ．
平均数
众数
中位数
方差
甲
190
a
189
6.5
乙
190
190
$b$
25.5
请你根据以上统计表中的信息回答下列问题∶

(1)、 $a =$ ______， $b =$ ______．

(2)、有同学认为：“因为甲乙两人平均数相等，所以两人水平一致．” 你同意这个观点吗？请结合相关数据及统计学知识进行说明．

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21. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $∠ C = ∠ A D C = 90 °$ ，点 $E$ 是 $A B$ 的中点，连接 $D E$ 并延长交 $C B$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $A F$ 和 $B D$ .

(1)、求证：四边形 $A F B D$ 是平行四边形；

(2)、若 $A B ⊥ D F$ ，且 $A D = 3$ ， $B E = 1$ ，求 $C D$ 的长度.

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22. 如图，一次函数 $y_{1} = - x + 5$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (k \neq 0 ， x > 0)$ 的图象交于 $A (1, a)$ ， $B$ 两点．

(1)、求反比例函数的表达式和点 $B$ 的坐标．

(2)、根据图象，直接写出 $- x + 5 - \frac{k}{x} < 0$ 时 $x$ 的取值范围．

(3)、过线段 $A B$ 上的动点 $P$ ，作 $x$ 轴的垂线，垂足为点 $M$ ，其交反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (k \neq 0 ， x > 0)$ 的图象于点 $Q$ ，若 $\frac{P Q}{Q M} = \frac{9}{16}$ ，求 $△ P M O$ 的面积．

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23. 某校八年级开展社会实践活动，下表是某小组的活动记录表，请根据相关信息解决实际问题．

社会实践活动记录表
小组名称	$\times \times \times$	活动时间	2024.6
小组成员	$\times \times \times$	地点	北岸果蔬超市
实践内容	调查杨梅销售行情；帮助超市解决销售问题；同时思考民生获益等事宜．
调研信息	杨梅进价为 40 元/箱．
	当杨梅售价为 50 元/箱时，每月可销售 500 箱．
	若每箱售价每上涨 1 元，则月销售量将减少 10 箱．
解决问题	问题 1	当销售单价定为每箱 55 元时，月销售量是多少？
	问题 2	设销售单价为每箱 $x (x \geq 50)$ 元，请用 $x$ 的代数式表示月销售利润．
	问题 3	请自行提出一个实际问题，并尝试解决之

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24. 【问题背景】
如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = 6$ ，点 $E$ 是边 $C D$ 的中点，连接 $A E$ ，点 $F 、 G$ 是线段 $A E$ 上的动点，连接 $B F ， D G$ ，且满足 $D G ∥ B F$ ．
【初步尝试】
（1）如图 2，当四边形 $A B C D$ 是正方形时，若 $B F ⊥ A E$ ，则 $D G =$ ____， $B F =$ ______．
【猜想验证】
（2）如图3，同学们在研究图形时发现，若取线段 $B F$ 的中点 $H$ ，可得 $\frac{D G}{B F}$ 始终为定值．请你猜想这个定值是多少？并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图 3，在（2）的基础上，若 $A B = 4 \sqrt{5} ， F G = 2$ ，当四边形 $F H G D$ 是菱形时，求菱形 $F H G D$ 的边长．

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平均数	众数	中位数	方差
9.5	9.3	9.5	0.05

	平均数	众数	中位数	方差
甲	190	a	189	6.5
乙	190	190	$b$	25.5

浙江省宁波市江北区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

一、选择题 (每小题 3 分， 共 30 分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求)

二、填空题 (每小题 3 分， 共 18 分)

三、解答题 (本大题有 8 小题， 共 72 分)

一、选择题 (每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

二、填空题 (每小题 3 分，共 18 分)

三、解答题 (本大题有 8 小题，共 72 分)