2016年广西桂林市、崇左市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）

试卷更新日期：2016-09-30 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知两集合A={x|x²+x﹣2≤0}，B={x| $\frac{1}{x} < 2$ }，则A∩B=（）

A、[﹣2，0） B、（ $\frac{1}{2}$ ，1] C、[﹣2，0）∪（ $\frac{1}{2}$ ，1] D、[1，+∞）

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2. 复数z=（a+i）（1﹣i），a∈R，i是虚数单位．若|z|=2，则a=（）

A、1 B、﹣1 C、0 D、±1

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3. 若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足：| $\vec{a}$ |=1，（ $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ）⊥ $\vec{a}$ ，（3 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ）⊥ $\vec{b}$ ，则| $\vec{b}$ |=（）

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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4.
由曲线y=x²和曲线y= $\sqrt{x}$ 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分面积为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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5. 将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，所得图象关于点 $(\frac{3 π}{4} ， 0)$ 对称，则ω的最小值是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、1 C、 $\frac{5}{3}$ D、2

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6. 一个几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）

A、2π B、4π C、6+（2+ $\sqrt{13}$ ）π D、（4+2 $\sqrt{13}$ ）π

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7. 某次考试无纸化阅卷的评分规则的程序如图所示，x₁ ， x₂ ， x₃为三个评卷人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当x₁=6，x₂=9，p=8.5时，x₃=（）

A、11 B、10 C、8 D、7

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8. 不等式组 ${\begin{matrix} x + y \geq 1 \\ x - 2 y \leq 4 \end{matrix}$ 的解集为D，下列命题中正确的是（）

A、∀（x，y）∈D，x+2y≤﹣1 B、∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 C、∀（x，y）∈D，x+2y≤3 D、∀（x，y）∈D，x+2y≥2

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9. 直线l过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，与该抛物线及其准线的交点依次为A、B、C，若|BC|=2|BF|，|AF|=3，则P=（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{9}{2}$

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10. 直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，M、N分别是A₁B₁、A₁C₁的中点，BC=AC=CC₁ ，则CN与AM所成角的余弦值等于（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{70}}{10}$

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11. 已知F₁ ， F₂是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点，以F₁F₂为直径的圆与双曲线一个交点是P，且△F₁PF₂的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、5

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12. 定义域为{x|x≠0}的函数f（x）满足：f（xy）=f（x）f（y），f（x）＞0且在区间（0，+∞）上单调递增，若m满足f（log₃m）+f（ $\log_{\frac{1}{3}} m$ ）≤2f（1），则实数m的取值范围是（）

A、[ $\frac{1}{3}$ ，1）∪（1，3] B、[0， $\frac{1}{3}$ ）∪（1，3] C、（0， $\frac{1}{3}$ ] D、[1，3]

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二、填空题

13. 设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若a₁=2，S₅=12，则a₆等于．

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14. （x+ $\frac{a}{x}$ ）（2x﹣ $\frac{1}{x}$ ）⁵的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为．

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15. 已知正方形ABCD的边长为2，点P、Q分别是边AB、BC边上的动点，且 $\vec{D P} ⊥ \vec{A Q}$ ，则 $\vec{C P} \cdot \vec{Q P}$ 的最小值为．

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16. 定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x²+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是．

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三、解答题

17. 如图，在四边形ABCD中，AB=3，AD=BC=CD=2，A=60°．

(1)、求sin∠ABD的值；

(2)、求△BCD的面积．

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18. 为了解某商场旅游鞋的日销售情况，现抽取部分顾客购鞋的尺码，将所得数据绘成如图所示频率分布直方图，已知图中从左到右前三组的频率之比为1：2：3，第二组的频数为10．

(1)、用频率估计概率，求尺码落在区间（37.5，43.5]概率约是多少？

(2)、从尺码落在区间（37.5，39.5]（43.5，45.5]顾客中任意选取两人，记在区间（43.5，45.5]的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．

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19. 如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP= $\sqrt{2}$ ．

(1)、求证：AB⊥PC；

(2)、求侧面BPC与侧面DPC所成的锐二面角的余弦值．

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20. 已知圆C：（x+1）²+y²=20，点B（l，0）．点A是圆C上的动点，线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P．

(1)、求动点P的轨迹C₁的方程；

(2)、设 $M (0 ， \frac{1}{5})$ ，N为抛物线C₂：y=x²上的一动点，过点N作抛物线C₂的切线交曲线C_l于P，Q两点，求△MPQ面积的最大值．

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21. 已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（﹣x²+ax﹣3）e^x（a为实数）．

(1)、当a=4时，求函数y=g（x）在x=0处的切线方程；

(2)、求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；

(3)、如果关于x的方程g（x）=2e^xf（x）在区间[ $\frac{1}{e}$ ，e]上有两个不等实根，求实数a的取值范围．

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22. 如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．

(1)、求证：O、B、D、E四点共圆；

(2)、求证：2DE²=DM•AC+DM•AB．

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23. 将圆x²+y²=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．

(1)、写出C的参数方程；

(2)、设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P₁ ， P₂ ，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P₁P₂的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

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24. 已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为m．

(1)、求m的值；

(2)、若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a²+b²+c²≥3．

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