内蒙古自治区通辽市2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-07-12 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 某地区某日最高气温是零上 $8 ° C$ ，记作 $+ 8 ° C$ ，最低气温是零下 $3 ° C$ ，应该记作（）

A、 $- 3 ° C$ B、 $+ 3 ° C$ C、 $- 5 ° C$ D、 $+ 5 ° C$

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2. 如图，这个几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 在学校文艺汇演中，7名参加舞蹈表演的女生身高（单位： $c m$ ）如下：170 175 169 171 172 170 173，这组数据的中位数是（）

A、175 B、172 C、171 D、170

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4. 下列运算结果正确的是（）

A、 $4 x y - 3 x y = 1$ B、 ${(- a^{2})}^{3} = - a^{6}$ C、 $\sqrt{(- 5)^{2}} = - 5$ D、 $\sqrt{3} + \sqrt{12} = \sqrt{15}$

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5. 剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合.则点 $A (- 4, 2)$ 关于对称轴对称的点的坐标为（）

A、 $(- 4, - 2)$ B、 $(4, - 2)$ C、 $(4, 2)$ D、 $(- 2, - 4)$

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6. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 $y = k_{1} x + b_{1}$ 与 $y = k_{2} x + b_{2}$ （其中 $k_{1} k_{2} \neq 0$ ， $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $b_{1}$ ， $b_{2}$ 为常数）的图象分别为直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ .下列结论正确的是（）

A、 $b_{1} + b_{2} > 0$ B、 $b_{1} b_{2} > 0$ C、 $k_{1} + k_{2} < 0$ D、 $k_{1} k_{2} < 0$

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7. 不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 将三角尺 $A B C$ 按如图位置摆放，顶点A落在直线 $l_{1}$ 上，顶点B落在直线 $l_{2}$ 上，若 $l_{1} / / l_{2}$ ， $∠ 1 = 25 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $45 °$ B、 $35 °$ C、 $30 °$ D、 $25 °$

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9. 如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点O ，以下条件不能证明 $▱ A B C D$ 是菱形的是（）

A、 $∠ B A C = ∠ B C A$ B、 $∠ A B D = ∠ C B D$ C、 $O A^{2} + O D^{2} = A D^{2}$ D、 $A D^{2} + O A^{2} = O D^{2}$

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10. 如图，小程的爸爸用一段 $10 m$ 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 $5.5 m$ ）的矩形鸭舍，其面积为 $15 m^{2}$ ，在鸭舍侧面中间位置留一个 $1 m$ 宽的门（由其它材料制成），则 $B C$ 长为（）

A、 $5 m$ 或 $6 m$ B、 $2.5 m$ 或 $3 m$ C、 $5 m$ D、 $3 m$

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11. 如图，圆形拱门最下端 $A B$ 在地面上，D为 $A B$ 的中点，C为拱门最高点，线段 $C D$ 经过拱门所在圆的圆心，若 $A B = 1 m$ ， $C D = 2.5 m$ ，则拱门所在圆的半径为（）

A、 $1.25 m$ B、 $1.3 m$ C、 $1.4 m$ D、 $1.45 m$

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12. 如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形 $A B C D E F$ 的中心， $E F / / x$ 轴，点E在双曲线 $y = \frac{k}{x}$ （k为常数， $k > 0$ ）上，将正六边形 $A B C D E F$ 向上平移 $\sqrt{3}$ 个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、3

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二、填空题

13. 因式分解 $3 a x^{2} - 6 a x y + 3 a y^{2} =$ ．

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14. 如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度L的合格尺寸（L的取值范围).

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15. 分式方程 $\frac{3}{x - 2} = \frac{2}{x}$ 的解为．

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16. 如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为 $5 c m$ ，母线长为 $12 c m$ 的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 $c m^{2}$ （结果用含π的式子表示）.

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17. 关于抛物线 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} + m - 4$ （m是常数），下列结论正确的是（填写所有正确结论的序号）.
①当 $m = 0$ 时，抛物线的对称轴是y轴；
②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则 $m = - 4$ ；
③若点 $A (m - 2, y_{1})$ ， $B (m + 1, y_{2})$ 在抛物线上，则 $y_{1} < y_{2}$ ；
④无论m为何值，抛物线的顶点到直线 $y = x$ 的距离都等于 $2 \sqrt{2}$ .

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三、解答题

18. 计算： $| \sqrt{3} - 2 | + 2 s i n 60 ° - (- π)^{0}$ .

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19. 先化简，再求值： $(2 a + b) (2 a - b) - (a + b) (4 a - b)$ ，其中 $a = - \sqrt{2}$ ， $b = 2$ .

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20. 在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度.如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是 $30 °$ ， $B C$ 长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为 $45 °$ ，求杨树 $A B$ 的高度（精确到 $0.1$ 米， $A B$ ， $B C$ ， $C D$ 在同一平面内，点C ， D在同一水平线上.参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）.

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21. 为迎接2024年5月26日的科尔沁马拉松赛，某中学七年级提前开展了一次“马拉松”历史知识测试.七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机抽取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样本.
【收集数据】
调查研究小组收集到50名学生的测试成绩：
60
61
62
94
73
73
85
85
87
72
63
64
70
66
74
65
67
75
76
71
94
93
84
91
76
82
83
83
92
84
80
80
82
92
91
86
77
86
88
72
70
71
93
90
81
90
74
78
81
75
【整理描述数据】
通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图：
组别
成绩分组
频数
A
$60 \leq x < 70$
a
B
$70 \leq x < 80$
16
C
$80 \leq x < 90$
16
D
$90 \leq x \leq 100$
b

(1)、频数分布表中 $a =$ ▲ ， $b =$ ▲ ，并补全频数分布直方图；

(2)、扇形统计图中 $m =$ ， D所对应的扇形的圆心角度数是.

(3)、【应用数据】
若成绩不低于90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数.

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22. 如图， $△ A B C$ 中，∠ACB=90°，点O为 $A C$ 边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与 $A B$ 相切于点D ，连接CD.

(1)、求证： $∠ A B C = 2 ∠ A C D$ ；

(2)、若 $A C = 8$ ， BC=6，求 $⊙ O$ 的半径.

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23. 某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地.在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机.经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元.

(1)、求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元；

(2)、学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最节省费用的购买方案.

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24. 【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具.同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞.

(1)、【模型建立】
如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”. $A M = A N$ ， $D M = D N$ .求证： $∠ A M D = ∠ A N D$ .

(2)、【模型应用】
如图2， $△ A M C$ 中， $∠ M A C$ 的平分线 $A D$ 交 $M C$ 于点D.请你从以下两个条件：
① $∠ A M D = 2 ∠ C$ ；② $A C = A M + M D$ 中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程.（注：只需选择一种情况作答）

(3)、【拓展提升】
如图3， $A C$ 为 $⊙ O$ 的直径， $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{B C}$ ， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点E ，交 $⊙ O$ 于点D ，连接 $C D$ .求证： $A E = 2 C D$ .

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25. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{3}{2} x + 3$ 与x轴，y轴分别交于点C ， D ，抛物线 $y = - \frac{1}{4} (x - 2)^{2} + k (k$ 为常数）经过点D且交x轴于A ， B两点.

(1)、求抛物线表示的函数解析式；

(2)、若点P为抛物线的顶点，连接 $A D$ ， $D P$ ， $C P$ .求四边形 $A C P D$ 的面积.

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26. 数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF和一个正方形纸板ABCD如图1摆放，若AE=1，AB=2．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α（0°≤α≤90°）角，观察图形的变化，完成探究活动．

(1)、【初步探究】
如图2，连接BE，DF并延长，延长线相交于点G，BG交AD于点M．
问题1 BE和DF的数量关系是，位置关系是．

(2)、【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题．
问题2 如图3，连接BD，点O是BD的中点，连接OA，OG．求证OA=OD=OG．

(3)、【尝试应用】
问题3 如图4，请直接写出当旋转角α从0°变化到60°时，点G经过路线的长度．

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60	61	62	94	73	73	85	85	87	72
63	64	70	66	74	65	67	75	76	71
94	93	84	91	76	82	83	83	92	84
80	80	82	92	91	86	77	86	88	72
70	71	93	90	81	90	74	78	81	75

组别	成绩分组	频数
A	$60 \leq x < 70$	a
B	$70 \leq x < 80$	16
C	$80 \leq x < 90$	16
D	$90 \leq x \leq 100$	b

60	61	62	94	73	73	85	85	87	72
63	64	70	66	74	65	67	75	76	71
94	93	84	91	76	82	83	83	92	84
80	80	82	92	91	86	77	86	88	72
70	71	93	90	81	90	74	78	81	75

60	61	62	94	73	73	85	85	87	72
63	64	70	66	74	65	67	75	76	71
94	93	84	91	76	82	83	83	92	84
80	80	82	92	91	86	77	86	88	72
70	71	93	90	81	90	74	78	81	75