云南省保山市实验中学2023-2024学年高二下学期6月月考测评（八）数学试题

试卷更新日期：2024-07-12 类型：月考试卷

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一、､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 甲､乙､丙三名高一学生都已选择物理､化学两科作为自己的高考科目，三人独自决定从政治､历史､地理､生物中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，则不同的选法种数为（）

A、 $A_{4}^{3}$ B、 $3 C_{4}^{1}$ C、 $3^{4}$ D、 $4^{3}$

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2. 某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据：以下结论正确的是（）

男生
女生
篮球迷
30
15
非篮球迷
45
10
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.10
0.05
0.01
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635

A、没有 $95 %$ 的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B、有 $99 %$ 的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C、在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D、在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关

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3. 某工厂5月份生产5000个灯泡，实验得知灯泡使用寿命（单位：小时）服从正态分布 $N (1000, σ^{2})$ ，已知 $P (X > 1200) = 0.1$ ，则工厂该月生产灯泡寿命在800小时及其以上的个数约为（）

A、4400 B、4500 C、4600 D、4900

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4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}, a_{1} = 32$ ，公比 $q = \frac{1}{2}$ ，则 $T_{n}$ 取最大值时 $n$ 的值为（）

A、3 B、6 C、4或5 D、5或6

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5. 已知 ${\vec{n}}_{1} = (\sqrt{3}, x, 2), {\vec{n}}_{2} = (3, - \sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$ 分别是平面 $α, β$ 的法向量，若 $α ⊥ β$ ，则 $x =$ （）

A、-7 B、-1 C、7 D、1

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6. 已知随机变量 $ξ$ 的分布列如表：
$ξ$
-2
0
2
$P$
$a$
$b$
$c$
其中 $a, b, c$ 成等差数列，则 $P (| ξ | = 2)$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 已知 $x (x - 2)^{7} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} (x - 1)^{2} + ⋯ + a_{8} (x - 1)^{8}$ ，则 $a_{6} - a_{5} =$ （）

A、-14 B、28 C、14 D、-28

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8. 设 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，点 $P$ 在此椭圆上，且 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = - 8$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、8

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二、､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 某学校一名同学研究温差 $x (^{∘} C)$ 与本校当天新增感冒人数 $y$ （人）的关系，该同学记录了5天的数据：
$x$
5
6
8
9
12
$y$
17
20
25
28
35
经过拟合，发现基本符合经验回归方程 $\hat{y} = 2.6 x + \hat{a}$ ，则下列说法正确的有（）
（参考公式：相关系数公式 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ）

A、样本中心点为 $(8, 25)$ B、 $\hat{a} = 4$ .2 C、当 $x = 5$ 时，残差为-0.1 D、若去掉样本点 $(8, 25)$ ，则样本的相关系数 $r$ 增大

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10. 已知直线 $l : k x - y + 1 = 0$ 和圆 $M : (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ ，则下列选项正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过点 $(0, 1)$ B、圆 $M$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ 有三条公切线 C、直线 $l$ 被圆 $M$ 截得的最短弦长为 $2 \sqrt{2}$ D、当 $k = 1$ 时，圆 $M$ 上存在无数对关于直线 $l$ 对称的点

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11. 下列结论正确的是

A、若随机变量 $Y$ 的方差 $D (Y) = 2$ ，则 $D (3 Y + 2) = 18$ B、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (n, \frac{1}{3})$ ，若 $E (3 X + 1) = 6$ ，则 $n = 5$ C、若随机变量 $η$ 服从正态分布 $N (5, σ^{2}), P (η ⩽ 2) = 0.1$ ，则 $P (2 < η < 8) = 0.6$ D、若事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，且 $P (A) = 0.5, P (B) = 0.2$ ，则 $P (A \bar{B}) = 0.4$

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三、､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 若随机变量 $X \sim B (100, 0.8)$ ，则 $σ (X) =$ .

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13. 为了解某社区居民的2023年家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入 $x$ （万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出 $y$ （万元）
6.2
7.5
8.0
$t$
9.7
根据上表可得回归直线方程 $\hat{y} = 0.76 x + 0.4$ ，则 $t =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} + x l n x$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a x^{2}$ 有两个不相等的实数根，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此对学生是否经常锻炼的情况进行了抽样调查，从全体学生中随机抽取男女各100名学生，经统计，抽查数据如下表：
性别
锻炼
合计
经常
不经常
男生
60
40
100
女生
80
20
100
合计
140
60
200
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .（其中， $n = a + b + c + d$ 为样本容量）
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

(1)、依据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，分析性别与体育锻炼的经常性是否有关？

(2)、为提高学生体育锻炼的积极性，学校决定在上述经常参加体育锻炼的学生中，按性别分层抽样随机抽取7名同学组成体育锻炼宣传小组，并从这7名同学中选出3人担任宣传组长，记男生担任宣传组长的人数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列及数学期望.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = 2, a_{n + 1} = S_{n} + 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2}{l o g_{2} a_{n} \cdot l o g_{2} a_{n + 2}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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17. 已知点 $F$ 是抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点，过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $P, Q$ 两点，过点 $P$ 作 $C$ 的准线的垂线，垂足为 $M, O$ 为坐标原点.

(1)、证明： $Q, O, M$ 三点共线；

(2)、若 $\vec{P F} = 16 \vec{F Q}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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18. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中黄球6个，红球4个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.

(1)、求第2次摸到红球的概率；

(2)、对于事件 $A, B, C$ ，当 $P (A B) > 0$ 时，证明： $P (A B C) = P (A) P (B ∣ A) P (C ∣ A B)$ ；

(3)、利用（2）中的结论，求第 $1, 2, 3$ 次都摸到红球的概率.

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19. 已知函数 $f (x) = - \frac{1}{2} a x^{2} + (1 + a) x - l n x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、当 $a = 1$ 时， $x \in [1, 3]$ ，证明不等式 $f (x) > - 4 l n x$ ；

(3)、当 $a > 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间.

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收入 $x$ （万元）	8.2	8.6	10.0	11.3	11.9
支出 $y$ （万元）	6.2	7.5	8.0	$t$	9.7

性别	锻炼		合计
性别	经常	不经常	合计
男生	60	40	100
女生	80	20	100
合计	140	60	200

	男生	女生
篮球迷	30	15
非篮球迷	45	10

$α$	0.10	0.05	0.01
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635

$ξ$	-2	0	2
$P$	$a$	$b$	$c$

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828