云南省保山市智源高级中学2023-2024学年高一下学期7月月考数学试题

试卷更新日期：2024-07-12 类型：期末考试

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一、单项选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1. 设全集 $U = {x \in N | - 2 < x < 4}$ ， $A = {0, 2}$ ，则 $C_{U}^{} A$ 为（）

A、 ${1, 3}$ B、 ${0, 1, 3}$ C、 ${- 1, 1, 3}$ D、 ${- 1, 0, 1, 3}$

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2. 若复数 $z = 3 - 2 i$ ，则 $z^{2} - 2 z$ 的虚部是（）

A、 $5$ B、 $5 i$ C、 $- 8$ D、 $- 8 i$

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3. 关于直线 $l$ 、 $m$ 及平面 $α$ 、 $β$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $l / / α$ ， $α ∩ β = m$ ，则 $l / / m$ B、若 $l ⊥ α$ ， $l / / β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $l / / m$ ， $m \subset α$ ，则 $l / / α$ D、若 $l / / α$ ， $m ⊥ l$ ，则 $m ⊥ α$

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4. 宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是 $3 : 4$ ，则该汝窑双耳罐的体积是（）

A、 $\frac{1784 π}{3}$ B、 $\frac{1884 π}{3}$ C、 $\frac{2304 π}{3}$ D、 $\frac{2504 π}{3}$

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5. 函数 $f (x) = (1 - \frac{2}{e^{x} + 1}) c o s (2 π - x)$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，点 $O$ 是 $△ A B C$ 的重心，点 $D$ 是边 $B C$ 上一点，且 $\vec{B C} = 4 \vec{D C}$ ， $\vec{O D} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，则 $\frac{m}{n} =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7. 已知角 $α$ 的顶点在坐标原点 $O$ ，始边与 $x$ 轴的正半轴重合，将角 $α$ 的终边绕 $O$ 点逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 后，经过点 $(- 3, 4)$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{10}$ B、 $\frac{4 - 3 \sqrt{3}}{10}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3} + 3}{10}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3} - 3}{10}$

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8. 经过简单随机抽样获得的样本数据为 $x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}$ ，且数据 $x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}$ 的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若数据 $x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}$ ，方差 $s^{2} = 0$ ，则所有的数据 $x_{i} (i = 1, 2, ⋯, n)$ 都为0 B、若数据 $x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}$ ，的平均数为 $\bar{x} = 3$ ，则 $y_{i} = 2 x_{i} + 1 (i = 1, 2, ⋯, n)$ 的平均数为6 C、若数据 $x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}$ ，的方差为 $s^{2} = 3$ ，则 $y_{i} = 2 x_{i} + 1 (i = 1, 2, ⋯, n)$ 的方差为12 D、若数据 $x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}$ ，的 $25 %$ 分位数为90，则可以估计总体中有至少有 $75 %$ 的数据不大于90

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二、多项选择题(本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。

9. 已知向量 $\vec{a} = (m, - 2)$ ， $\vec{b} = (3, m + 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是与 $\vec{a}$ 同向的单位向量，则（）

A、 $m = 2$ B、 $\vec{b} = (3, 2)$ C、 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{26}$ D、 $\vec{c} = (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$

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10. 下列选项中正确的是（）

A、某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的，且各个路口遇到红灯的概率都是 $\frac{1}{3}$ ，那么该学生在第3个路口首次遇到红灯的概率为 $\frac{4}{27}$ B、甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，他们能单独破译的概率分别为 $\frac{1}{5}$ 、 $\frac{1}{3}$ 、 $\frac{1}{4}$ ，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为 $\frac{3}{5}$ C、先后抛掷2枚质地均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6）骰子向上的点数分别为 $x$ 、 $y$ ，则 $\log_{2 x} y = 1$ 的概率为 $\frac{1}{6}$ D、设2个独立事件 $F$ 和 $G$ 都不发生的概率为 $\frac{1}{9}$ ， $F$ 发生 $G$ 不发生的概率与 $G$ 发生 $F$ 不发生的概率相同，则事件 $F$ 发生的概率是 $\frac{2}{9}$

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11. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D$ $/ /$ $B C, A D = A B = 2, ∠ B C D = 4 5^{°}, ∠ B A D = 9 0^{°}$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 进行翻折，在这一翻折过程中，下列说法正确的是（）

A、始终有 $A C ⊥ B D$ B、当平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ 时， $A B ⊥$ 平面 $A C D$ C、当平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ 时，直线 $B C$ 与平面 $A B D$ 成 $4 5^{°}$ 角 D、当平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ 时，三棱锥 $A - B C D$ 外接球表面积为 $16 π$

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三、填空题(本题共3个小题，每小题5分，共15分。

12. 抽样统计某位射击运动员10次的训练成绩分别为 $86, 85, 88, 86, 90, 89, 88, 87, 85, 92$ ，则该运动员这10次成绩的 $80 %$ 分位数为.

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13. 已知 $t a n α = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{2 c o s 2 α + 3 s i n α c o s α}{s i n^{2} α - c o s^{2} α} =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x - 1 |, 0 \leq x < 2 \\ 2 {(x - 3)}^{2} - 1, x \geq 2 \end{array}$ ，则函数 $y = f (f (x)) - \frac{1}{2}$ 的零点个数为.

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四、解答题(本题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

15. 已知函数 $f (x) = \sin 2 x + 2 \sqrt{3} \sin^{2} x$

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再向下平移 $\sqrt{3}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，当 $x \in [\frac{5 π}{12} ， \frac{2 π}{3}]$ ，求函数 $g (x)$ 的值域

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16. 某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理
方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取 $n$ 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在 $[70, 80)$ 的有10个.

(1)、求 $n$ 和乙样本直方图中 $a$ 的值；

(2)、试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）

(3)、采用分层抽样的方法从甲样本数据中分别在 $[60, 70)$ 和 $[70, 80)$ 的学生中抽取6人，并从这6
人中任取2人，求这两人分数都在 $[70, 80)$ 中的概率.

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17. 已知 $△ A B C$ 的内角A ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，且满足 $4 S + b c \cdot t a n (B + C) = 0$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 4$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $A P ⊥ A B$ ， E为AP的中点， $△ P B D$ 为等边三角形．

(1)、求证： $B D ⊥ P C$ ；

(2)、在棱 $D C$ 上是否存在一点F ，使 $D E / /$ 平面PBF ，若存在，求点F到平面PBD的距离；若不存在，请说明理由．

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19. 若函数 $y = f (x)$ 对定义域内的每一个值 $x_{1}$ ，在其定义域内都存在唯一的 $x_{2}$ ，使 $f (x_{1}) f (x_{2}) = 1$ 成立，则称该函数为“依赖函数”.

(1)、判断函数 $g (x) = x$ 是否为“依赖函数”，并说明理由；

(2)、若函数 $f (x) = 2^{x - 2}$ 在定义域 $[m, n]$ （ $n > m > 0$ ）上为“依赖函数”，求 $m n$ 的取值范围；

(3)、已知函数 $h (x) = {(x - a)}^{2} (a \leq 3)$ 在定义域 $[\frac{3}{2}, 3]$ 上为“依赖函数”.若存在实数 $x \in [\frac{3}{2}, 3]$ ，使得对任意的 $t \in R$ ，不等式 $h (x) \geq - t^{2} + (s - t) x$ 恒成立，求实数 $s$ 的最大值.

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