广东省江门一中2023-2024学年高二（下）第一次段考数学试卷

试卷更新日期：2024-07-12 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知 $f (x) = x^{2} - 1$ ，则 $f^{'} (2) =$ ( )

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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2. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - x + 1$ ，则 $f (x)$ 从 $1$ 到 $1 + Δ x$ 的平均变化率为( )

A、 $2 Δ x + 3$ B、 $4 Δ x + 3$ C、 $2 (Δ x)^{2} + 3 Δ x$ D、 $2 (Δ x)^{2} - Δ x + 1$

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3. 今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（）

A、9种 B、36种 C、64种 D、81种

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4. 已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的图象可能是( )

A、 B、 C、 D、

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5. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - l n x$ 在 $(1,2)$ 上是单调递增函数，则实数 $a$ 的取值范围是( )

A、 $(\frac{1}{e}, + \infty)$ B、 $(\frac{1}{2 e^{2}}, + \infty)$ C、 $[\frac{1}{e}, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{2 e^{2}}, + \infty)$

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6. 已知 $a = \frac{1}{2} l n \frac{1}{2}$ ， $b = l n (l n 3)$ ， $c = - \frac{1}{e}$ ，则( )

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $c > a > b$

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7. 如图，在边长为 $a$ 的正三角形的三个角处各剪去一个四边形 $.$ 这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图 $① .$ 若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图 $② .$ 则这个容器的容积的最大值为( )

A、 $\frac{a^{3}}{27}$ B、 $\frac{a^{3}}{36}$ C、 $\frac{a^{3}}{54}$ D、 $\frac{a^{3}}{72}$

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8. 设 $\sqrt[4]{258}$ 的小数部分为 $x$ ，则 $x^{4} + 16 x^{3} + 96 x^{2} + 256 x =$ ( )

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 下列结论正确的是( )

A、 $C_{7}^{3} = \frac{A_{7}^{3}}{4!}$ B、 $A_{n}^{m} = n A_{n - 1}^{m - 1} (m, n$ 为正整数且 $n > m > 1)$ C、 $C_{6}^{2} + C_{6}^{3} = C_{7}^{3}$ D、满足方程 $C_{16}^{x^{2} - x} = C_{16}^{5 x - 5}$ 的 $x$ 值可能为 $x = 1$ 或 $x = 5$ 或 $x = - 7$ 或 $x = 3$

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10. 设 $x^{2022} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} (x + 1)^{2} + \dots + a_{2022} (x + 1)^{2022}$ ，则下列选项正确的是( )

A、 $a_{1} = - 2022$ B、 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - \dots + a_{2022} = 2^{2022}$ C、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{2022} = 1$ D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \dots + \frac{a_{2022}}{2^{2022}} = (\frac{1}{2})^{2022}$

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11. 设函数 $f (x) = x l n x + (1 - x) l n (1 - x)$ ，则（）

A、 $f (x) = f (1 - x)$ B、函数 $f (x)$ 有最大值 $- l n 2$ C、若 $x_{1} + x_{2} = 1$ ，则 $x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1}) \geq - l n 2$ D、若 $x_{1} + x_{2} < 1$ ，且 $\frac{1}{2} < x_{2} < 1$ ，则 $f (x_{2}) < f (x_{1})$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 在 ${(2 + x)}^{3} (1 - x)$ 的展开式中， $x$ 的一次项的系数为（用数字作答）.

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13. 曲线 $f (x) = x^{3} - 2 x^{2}$ 过原点的切线方程为．

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14. 将 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $\dots$ ， $9$ 这 $9$ 个数填入如图所示的格子中 $($ 要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数 $)$ ，记第 $1$ 行中最大的数为 $a$ ，第 $2$ 行中最大的数为 $b$ ，第 $3$ 行中最大的数为 $c$ ，则 $a < b < c$ 的填法共有种 $. ($ 用数字作答 $)$

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 请回答下列问题：

(1)、现有 $6$ 份不同的礼物，平均分给甲乙丙 $3$ 人，有多少种分法？

(2)、由 $0$ ， $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ 这 $6$ 个数字组成没有重复数字的四位偶数有多少个？

(3)、某旅行社有导游 $8$ 人，其中 $3$ 人只会英语， $4$ 人只会日语， $1$ 人既会英语，也会日语，现从中选 $6$ 人，其中 $3$ 人进行英语导游，另外 $3$ 人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？

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16. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{2} x^{2} + 3$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上的最大值和最小值.

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17. 已知在 $(a x - x^{- \frac{1}{3}})^{n} (a > 0)$ 的展开式中，第 $4$ 项与第 $6$ 项的二项式系数相等．

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中的有理项；

(3)、若其展开式中 $x^{4}$ 项的系数为 $- 1792$ ，求其展开式中系数的绝对值最大的项．

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18. 已知函数 $f (x) = a x e^{x} - {(x + 1)}^{2}$ （ $a \in R$ ， e为自然对数的底数）．

(1)、若 $f (x)$ 在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、当 $a \geq \frac{1}{e^{2}}$ 时，求证： $f (x) \geq l n x - x^{2} - x - 2$ ．

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19. 青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率 $.$ 考察图所示的光滑曲线 $C$ ： $y = f (x)$ 上的曲线段 $\overset{⏜}{A B}$ ，其弧长为 $Δ s$ ，当动点从 $A$ 沿曲线段 $\overset{⏜}{A B}$ 运动到 $B$ 点时， $A$ 点的切线 $l_{A}$ 也随着转动到 $B$ 点的切线 $l_{B}$ ，记这两条切线之间的夹角为 $Δ θ ($ 它等于 $l_{B}$ 的倾斜角与 $l_{A}$ 的倾斜角之差 $) .$ 显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义 $\bar{K} = | \frac{Δ θ}{Δ s} |$ 为曲线段 $\overset{⏜}{A B}$ 的平均曲率；显然当 $B$ 越接近 $A$ ，即 $Δ s$ 越小， $K$ 就越能精确刻画曲线 $C$ 在点 $A$ 处的弯曲程度，因此定义曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x, f (x))$ 处的曲率计算公式为 $K = \underset{Δ x \to 0}{l i m} | \frac{Δ θ}{Δ s} | = \frac{| t^{'} (x) |}{(1 + [f^{'} (x)]^{2})^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $t (x) = f^{'} (x)$ ．

(1)、求单位圆上圆心角为 $60 °$ 的圆弧的平均曲率；

(2)、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} (x > 0)$ ，求曲线 $y = f (x)$ 的曲率的最大值；

(3)、已知函数 $g (x) = 6 x^{2} l n x - 2 a x^{3} - 9 x^{2}, ℎ (x) = 2 x e^{x} - 4 e^{x} + a x^{2}, a \in (0, \frac{1}{e})$ ，若 $g (x)$ ， $ℎ (x)$ 曲率为 $0$ 时 $x$ 的最小值分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求证： $\frac{x_{1}^{2}}{e^{x_{2}}} > e^{\frac{8}{3}}$ ．

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