浙江省杭州市重点中学2023-2024学年高一（下）月考数学试卷

试卷更新日期：2024-07-12 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知 $A = {x | (x - 1) (2 + x) < 0}$ ， $B = {x | {l o g}_{2} x < 1}$ ，则 $A \cap B =$ ( )

A、 $(- 2,1)$ B、 $(0,2)$ C、 $(- 3,2)$ D、 $(0,1)$

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2. 复平面内表示复数 $z = \frac{1 - i}{i}$ 的点位于( )

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 在 $△ A B C$ 中， $B = 30 °$ ， $b = 2, c = 2 \sqrt{2}$ ，则角 $A$ 的大小为( )

A、 $45 °$ B、 $135 °$ 或 $45 °$ C、 $15 °$ D、 $105 °$ 或 $15 °$

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4. 设 $l$ ， $m$ 是两条不同的直线， $α$ 是一个平面，则下列命题正确的是( )

A、若 $l ⊥ α$ ， $l / / m$ ，则 $m ⊥ α$ B、若 $l ⊥ m$ ， $m \subset α$ ，则 $l ⊥ α$ C、若 $l / / α$ ， $m \subset α$ ，则 $l / / m$ D、若 $l / / α$ ， $m / / α$ ，则 $l / / m$

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5. 已知平面向量 $\vec{a} = (m, - 4)$ ， $\vec{b} = (- 1, m + 3)$ ，若存在实数 $λ > 0$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ ，则实数 $m$ 的值为( )

A、 $- 1$ B、 $- 4$ C、 $1$ D、 $4$

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6. 达·芬奇的经典之作 $《$ 蒙娜丽莎 $》$ 举世闻名．画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角 $A$ ， $B$ 间的圆弧长为 $l$ ，嘴角间的距离为 $d$ ，圆弧所对的圆心角为 $θ (θ$ 为弧度角 $)$ ，则 $l$ 、 $d$ 和 $θ$ 所满足的恒等关系为( )

A、 $\frac{s i n \frac{θ}{2}}{θ} = \frac{d}{l}$ B、 $\frac{2 s i n \frac{θ}{2}}{θ} = \frac{d}{l}$ C、 $\frac{c o s \frac{θ}{2}}{θ} = \frac{d}{l}$ D、 $\frac{2 c o s \frac{θ}{2}}{θ} = \frac{d}{l}$

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7. 如图，已知正四棱锥 $P - A B C D$ 的所有棱长均为 $2$ ， $E$ 为棱 $P A$ 的中点，则异面直线 $B E$ 与 $P C$ 所成角的余弦值为( )

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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8. 已知点 $O$ 为 $△ A B C$ 外接圆的圆心，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $a = 3$ ， $\vec{B O} \cdot \vec{A C} = 2$ ，内角 $C$ 取最大值时 $△ A B C$ 的面积为( )

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 已知向量 $\vec{a} = (m, - 1), \vec{b} = (- 2,1)$ ，则下列说法正确的是( )

A、若 $m = 1$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{13}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m = 2$ C、“ $m > - \frac{1}{2}$ ”是“ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角”的充要条件 D、若 $m = - 1$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标为 $(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

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10. 如图是函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像，则( )

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $x = \frac{5 π}{6}$ 是函数 $y = f (x)$ 的一条对称轴 C、将函数 $y = f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后，得到的函数为奇函数 D、若函数 $y = f (t x) (t > 0)$ 在 $[0, π]$ 上有且仅有两个零点，则 $t \in [\frac{5}{6}, \frac{4}{3})$

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11. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为 $1$ ， $P$ 是 $A_{1} D$ 上的一个动点，下列结论中正确的是( )

A、 $B P$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、当 $P$ 在 $A_{1} D$ 上运动时，都有 $C_{1} P ⊥ B D_{1}$ C、当 $P$ 在直线 $A_{1} D$ 上运动时，三棱锥 $A - B_{1} P C$ 的体积不变 D、 $P A + P C$ 的最小值为 $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2^{x} + x - 1$ ，则 $f (l o g_{2} \frac{1}{4})$ 的值为.

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13. 在一个如图所示的直角梯形 $A B C D$ 内挖去一个扇形， $E$ 恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线 $D E$ 旋转一圈，则所得几何体的体积为．

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14. 平面向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 满足 $| \vec{m} | = | \vec{n} | = 1$ ，对任意的实数 $t$ ，不等式 $| \vec{m} - \frac{1}{2} \vec{n} | \leq | \vec{m} + t \vec{n} |$ 恒成立，则 $| \vec{n} - t \vec{m} |$ 的最小值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 已知复数 $z = (2 + i) m + \frac{2 i}{i - 1}$ （其中 $i$ 是虚数单位， $m \in R$ ）.

(1)、若复数 $z$ 是纯虚数，求 $m$ 的值；

(2)、求 $| z - 1 |$ 的取值范围.

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16. 已知向量 $\vec{a} = (s i n α, c o s α)$ ， $\vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{c} = (c o s β, - s i n β)$ ， $α \in (0, π)$ ．

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $α$ 的值；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{3}{5}$ ， $β \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ ，求 $s i n β$ 的值．

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17. 在 $① \frac{b}{a} = \frac{c o s B + 1}{\sqrt{3} s i n A}$ ， $② 2 b s i n A = a t a n B$ ， $③ c - a = b c o s A - a c o s B$ 这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题 $. △ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 ▲ $($ 只需填序号 $)$ ．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，边长 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ D C$ ， $B C = C D = \frac{1}{2} A D = 1$ ， $E$ 为棱 $A D$ 的中点， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、求证： $A B / /$ 平面 $P C E$ ；

(2)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(3)、若二面角 $P - C D - A$ 的大小为 $45 °$ ，求直线 $P A$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值．

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19. 已知函数 $f (x) = (m + 1) x^{2} - (m - 1) x + m - 1$

(1)、若不等式 $f (x) < 1$ 的解集为 $R$ ，求 $m$ 的取值范围；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq (m + 1) x$ ；

(3)、若不等式 $f (x) \geq 0$ 对一切 $x \in [- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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