四川省泸州市江阳区2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题

试卷更新日期：2024-07-12 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知直线 $l_{1} : x + y = 0$ ， $l_{2} : a x + b y + 1 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a + b =$ ( )

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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2. 求以 $A (1, - 1)$ 为圆心，且经过点 $B (0,1)$ 的圆的一般方程( )

A、 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 7 = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 7 = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 3 = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y + 3 = 0$

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3. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{24} = 1$ 上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F的距离等于（）

A、3 B、3或7 C、5 D、7

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4. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = - 1, a_{4} = 8$ ，则公差 $d =$ ( )

A、 $4$ B、 $3$ C、 $- 4$ D、 $- 3$

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5. 甲、乙、丙、丁、戊 $5$ 名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区 $.$ 则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在 $A$ 小区的概率为( )

A、 $\frac{193}{243}$ B、 $\frac{100}{243}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{9}$

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6. 函数 $f (x) = \frac{l n | x | - x^{2} + 2}{x}$ 的图象大致为( )

A、 B、 C、 D、

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7. 下列说法正确的有 $()$ 个
$①$ 已知一组数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{10}$ 的方差为 $3$ ，则 $x_{1} + 2, x_{2} + 2, x_{3} + 2, \dots, x_{10} + 2$ 的方差也为 $3$ ．
$②$ 对具有线性相关关系的变量 $x, y$ ，其线性回归方程为 $\hat{y} = 0.3 x - m$ ，若样本点的中心为 $(m, 2.8)$ ，则实数 $m$ 的值是 $4$ ．
$③$ 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，若 $P (X > - 1) + P (X \geq 5) = 1$ ，则 $μ = 2$ ．
$④$ 已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (n, \frac{1}{3})$ ，若 $E (3 X + 1) = 6$ ，则 $n = 6$ ．

A、 $0$ 个 B、 $1$ 个 C、 $2$ 个 D、 $3$ 个

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8. 如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $Q$ 为线段 $B C_{1}$ 上的动点，则下列结论正确的是( )

A、存在点 $Q$ ，使得 $P Q / / B D$ B、存在点 $Q$ ，使得 $P Q ⊥$ 平面 $A B_{1} C_{1} D$ C、三棱锥 $Q - A P D$ 的体积是定值 D、存在点 $Q$ ，使得 $P Q$ 与 $A D$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$

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二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 已知 $P (A) = \frac{1}{5}$ ， $P (B | A) = \frac{1}{4} .$ 若随机事件 $A$ ， $B$ 相互独立，则( )

A、 $P (B) = \frac{1}{3}$ B、 $P (A B) = \frac{1}{20}$ C、 $P (\bar{A} | B) = \frac{4}{5}$ D、 $P (A + \bar{B}) = \frac{4}{5}$

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10. 若 $(x - 1)^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则( )

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{3} = 20$ C、 $2 a_{1} + 4 a_{2} + 8 a_{3} + 16 a_{4} + 32 a_{5} + 64 a_{6} = 0$ D、 $|a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6}| = |a_{1} + a_{3} + a_{5}|$

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11. 已知O为坐标原点，过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点 $M (p, 0)$ ，若 $| A F | = | A M |$ ，则（）

A、直线 $A B$ 的斜率为 $2 \sqrt{6}$ B、 $| O B | = | O F |$ C、 $| A B | > 4 | O F |$ D、 $∠ O A M + ∠ O B M < 180 °$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 3^{n + 1} (n \in N^{*})$ ， $a_{1} = 3$ ，则 $a_{n} =$ ．

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13. 若随机变量 $ξ$ 的数学期望和方差分别为 $E (ξ)$ ， $D (ξ)$ ，则对于任意 $ε > 0$ ，不等式 $P (|ξ - E (ξ)| \geq ε) \leq \frac{D (ξ)}{ε^{2}}$ 成立 $.$ 在 $2023$ 年湖南省高三九校联考中，数学科考试满分 $150$ 分，某校高三共有 $500$ 名学生参加考试，全体学生的成绩 $ξ \sim N (80, 4^{2})$ ，则根据上述不等式，可估计分数不低于 $100$ 分的学生不超过人 $.$

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14. 若函数 $f (x) = (x^{2} - m x + 2) e^{x}$ 在 $[- \frac{1}{2}, 1]$ 上存在单调递减区间，则 $m$ 的取值范围是．

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四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 已知 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列， $a_{1} = 2$ ， $a_{3} = 2 a_{2} + 16$ 。

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，求数列{ $b_{n}$ }的前n项和。

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16. 某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分 $A$ ， $B$ ， $C$ 三大类，其中 $A$ 类有 $3$ 个项目，每项需花费 $2$ 小时， $B$ 类有 $3$ 个项目，每项需花费 $3$ 小时， $C$ 类有 $2$ 个项目，每项需花费 $1$ 小时．要求每位员工从中随机选择 $3$ 个项目，每个项目的选择机会均等．

(1)、求小张在三类中各选 $1$ 个项目的概率；

(2)、设小张所选 $3$ 个项目花费的总时间为 $X$ 小时，求 $X$ 的分布列．

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17. 如图，正三棱柱的所有棱长都为 $2$ ， $D$ 为 $C C_{1}$ 中点．

(1)、求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、求二面角 $A - A_{1} D - B$ 的正弦值；

(3)、求点 $C$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离．

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18. 已知双曲线： $x^{2} - y^{2} = 1$ ，点 $M$ 为双曲线 $C$ 右支上一点， $A$ 、 $B$ 为双曲线 $C$ 的左、右顶点，直线 $A M$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，点 $Q$ 在 $x$ 轴正半轴上，点 $E$ 在 $y$ 轴上．

(1)、若点 $M (2, \sqrt{3})$ ， $Q (2,0)$ ，过点 $Q$ 作 $B M$ 的垂线 $l$ 交该双曲线 $C$ 于 $S$ ， $T$ 两点，求 $▵ O S T$ 的面积；

(2)、若点 $M$ 不与 $B$ 重合，从下面 $① ② ③$ 中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
$① \vec{O D} = \vec{D E}$ ； $② B M ⊥ E Q$ ； $③ |O Q| = 2 .$ 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

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19. 已知函数 $f (x) = m l n x - x e^{x} + x$ ．

(1)、若 $m = 1$ ，求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (x_{1}) + x_{1} e^{x_{1}} + m = 0 ， f (x_{2}) + x_{2} e^{x_{2}} + m = 0$ ，其中 $x_{1} \neq x_{2}$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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