湖南省长沙市2023-2024学年高二下学期期末调研数学试卷

试卷更新日期：2024-07-12 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 $A = \{x |\log_{2} x > 1\}$ ， $B = \{x |0 < x < 4\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $\{x |2 < x < 4\}$ B、 $\{x |2 \leq x < 4\}$ C、 $\{x |0 < x \leq 2\}$ D、 $\{x |x \leq 2\}$

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2. “ $a > 1$ ”是“函数 $y = x^{2} - 2 a x + 1$ 在 $(- \infty, 1]$ 上单调递减”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 学生可从本年级开设的7门选修课中任意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是（）

A、350 B、700 C、2100 D、4200

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4. 福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港 $.$ 如图，是港区某个泊位一天中 $6$ 时到 $18$ 时的水深变化曲线近似满足函数 $y = 3 s i n (ω x + φ) + k$ ，据此可知，这段时间水深 $($ 单位： $m)$ 的最大值为( )

A、 $5$ B、 $6$ C、 $8$ D、 $10$

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5. 已知随机变量 $X \sim N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X > 3) = 0.3$ ，则 $P (1 < X \leq 2) =$ ( )

A、 $0.7$ B、 $0.3$ C、 $0.2$ D、 $0.1$

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6. 某企业生产线上生产的产品的某项指标 $X \sim N (365, σ^{2})$ ，且 $P (X < 366) = 0.6$ . 现从该生产线上随机抽取 $100$ 个产品，记 $ξ$ 表示 $365 \leq X < 366$ 的产品个数，则 $D (ξ) =$ （）

A、7 B、9 C、11 D、13

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7. 若函数 $f (x) = (x - 3) e^{x} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1$ 在区间 $(2 m - 2, 3 + m)$ 上存在最值，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < - 1$ B、 $m >2$ C、 $- 1 < m < 2$ D、 $m < - 1$ 或 $m >2$

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8. 设 $A$ ， $B$ 是一个随机试验中的两个事件，且 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{3}{4}$ ， $P (A + \bar{B}) = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $P (B |A) = \frac{1}{4}$ B、 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{6}$ C、 $P (\bar{B}) = P (\bar{B} |A)$ D、 $P (A \bar{B} + \bar{A} B) = \frac{5}{12}$

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二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 已知a ， b ， c为实数，则下列命题中正确的是（）

A、若 $\frac{a}{c^{2}} < \frac{b}{c^{2}}$ ，则 $a < b$ B、若 $a c > b c$ ，则 $a > b$ C、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a + c > b + d$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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10. 已知 ${(1 + x)}^{6} = a_{0} + a_{1} (1 - x) + a_{2} {(1 - x)}^{2} + \dots + a_{6} {(1 - x)}^{6}$ ，则下列选项正确的有（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{6} = 1$ C、 $a_{0} + a_{1} + \dots + a_{6} = 64$ D、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = - 364$

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11. 已知正实数 $m, n$ 满足 $ln m = n \cdot e^{m} + ln n$ （ $e$ 是自然对数的底数， $e \approx 2.718$ ），则（）

A、 $m = n \cdot e^{m}$ B、 $n = m \cdot e^{n}$ C、 $n - \frac{1}{e^{m}}$ 的最大值为 $\frac{1}{e^{2}}$ D、方程 $n - \frac{1}{e^{m}} = - e$ 无实数解

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 曲线 $y = 4 \sqrt{x}$ 与直线 $y = 2 x + 4$ 平行的切线方程为.

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13. 现安排高二年级甲，乙、丙、丁、戊五名同学去A、B两个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，每个工厂至少需要两名同学，若甲和乙不能去同一个工厂，则不同的安排方法种数为．（用数字作答）

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14. 某学校有 $A$ ， $B$ 两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择 $A$ 餐厅和选择 $B$ 餐的概率均为 $\frac{1}{2}$ .如果第1天去 $A$ 餐厅，那么第2天去 $A$ 餐厅的概率为 $\frac{3}{5}$ ；如果第1天去 $B$ 餐厅，那么第2天去 $A$ 餐厅的概率为 $\frac{4}{5}$ ，则某同学第2天去 $A$ 餐厅用餐的概率为；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量 $X$ 为该班3名同学中第2天选择 $B$ 餐厅的人数，则随机变量 $X$ 的均值 $E (X) =$ .

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四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 已知集合 $A = \{x |x^{2} - x - 2 < 0\}$ ， $B = \{x ||2 x - 5| \geq 3\}$ .

(1)、求 $A \cup B$ ， $A \cap ∁_{R} B$ ；

(2)、记关于x的不等式 $x^{2} - (2 m + 4) x + m 2 + 4 m < 0$ 的解集为M，若 $B \cup M = R$ ，求实数m的取值范围.

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16. 在 ${(\sqrt{x} + \frac{2}{x^{2}})}^{8}$ 的展开式中，

(1)、求二项式系数最大的项；

(2)、若第 $k + 1$ 项是有理项，求 $k$ 的取值集合；

(3)、系数最大的项是第几项.

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17. 为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量 $y ($ 单位：亿元 $)$ 与研发人员增量 $x ($ 人 $)$ 的 $10$ 组数据．现用模型 $① y = b x + a$ ， $② y = c + d \sqrt{x}$ 分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中 $t_{i} = \sqrt{x_{i}}, \bar{t} = \frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} t_{i}$ ．

$\bar{y}$

$\bar{t}$

$\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$

$\sum_{i = 1}^{10} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}$

$\sum_{i = 1}^{10} (y_{i} - \bar{y}) (x_{i} - \bar{x})$

$\sum_{i = 1}^{10} (y_{i} - \bar{y}) (t_{i} - \bar{t})$

$7.5$

$2.25$

$82.50$

$4.50$
$12$ $14$

$2.88$

(1)、根据残差图，判断应选择哪个模型； $($ 无需说明理由 $)$

(2)、根据 $(1)$ 中所选模型，求出 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过 $8$ 亿元，研发人员增量至少多少人？ $($ 精确到 $1)$

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18. 无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ 其中 $n = a + b + c + d$

$α$

$0.15$

$0.10$

$0.05$

$0.010$

$0.001$

$x_{α}$

$2.072$

$2.706$

$3.841$

$6.635$

$10.828$

(1)、消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表，根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候是否有关：

晴天
雨天
命中
$45$
$30$
不命中
$5$
$20$

(2)、某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为 $\frac{4}{5}$ ，每次投弹是否击中目标相互独立 $.$ 无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为 $\frac{1}{2}$ ，击中目标两次起火点被扑灭的概率为 $\frac{2}{3}$ ，击中目标三次起火点必定被扑灭．
$(i)$ 求起火点被无人机击中次数 $X$ 的分布列及数学期望；
$(i i)$ 求起火点被无人机击中且被扑灭的概率．

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19. 已知函数 $f (x) = x - l n x - 2$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、函数 $f (x)$ 在区间 $(k, k + 1) (k \in N)$ 上有零点，求 $k$ 的值；

(3)、记函数 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - b x - 2 - f (x)$ ，设 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是函数 $g (x)$ 的两个极值点，若 $b \geq \frac{3}{2}$ ，且 $g (x_{1}) - g (x_{2}) \geq k$ 恒成立，求实数 $k$ 的最大值．

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$\bar{y}$	$\bar{t}$	$\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} (y_{i} - \bar{y}) (x_{i} - \bar{x})$	$\sum_{i = 1}^{10} (y_{i} - \bar{y}) (t_{i} - \bar{t})$
$7.5$	$2.25$	$82.50$	$4.50$	$12$ $14$	$2.88$

$α$	$0.15$	$0.10$	$0.05$	$0.010$	$0.001$
$x_{α}$	$2.072$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

	晴天	雨天
命中	$45$	$30$
不命中	$5$	$20$