【培优版】北师大版数学九上2.2用配方法解一元二次方程同步练习

试卷更新日期：2024-07-11 类型：同步测试

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一、选择题

1. 用配方法解一元二次方程 $2 x^{2} - 7 x + 6 = 0$ ，下面配方正确的是 $($ $)$

A、 $(x - \frac{7}{4})^{2} = \frac{1}{16}$ B、 $(x - \frac{7}{4})^{2} = \frac{97}{16}$ C、 $(x - \frac{7}{2})^{2} = \frac{37}{4}$ D、 $(x + \frac{7}{4})^{2} = \frac{1}{16}$

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2. 解一元二次方程 $x^{2} + 4 x - 1 = 0$ ，配方正确的是（）

A、 $(x + 2)^{2} = 3$ B、 $(x - 2)^{2} = 3$ C、 $(x + 2)^{2} = 5$ D、 $(x - 2)^{2} = 5$

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3. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 10 x + m = 0$ 可以通过配方写成 ${(x - n)}^{2} = 0$ 的形式，那么下列关于 $m ， n$ 的值正确的是（）

A、 $m = 25 ， n = 5$ B、 $m = 20 ， n = 5$ C、 $m = 100 ， n = 10$ D、 $m = 20 ， n = - 5$

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4. 对于两个实数a，b，用 $max (a ， b)$ 表示其中较大的数，则方程 $x \times max (x ， - x) = 2 x + 1$ 的解是（）

A、 $1$ ， $1 + \sqrt{2}$ B、 $1$ ， $1 - \sqrt{2}$ C、 $- 1$ ， $1 + \sqrt{2}$ D、 $- 1$ ， $1 - \sqrt{2}$

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5. 用配方法解方程y²- $\frac{9}{4}$ y-1=0，正确的是（）

A、（y- $\frac{9}{4}$ ）² = $\frac{13}{4}$ ， y= $\frac{9}{4}$ ± $\frac{\sqrt{13}}{2}$ B、（y- $\frac{3}{2}$ ）² = $\frac{13}{4}$ ， y= $\frac{3}{2}$ ± $\frac{\sqrt{13}}{4}$ C、（y- $\frac{3}{2}$ ）² = $\frac{13}{4}$ ，y= $\frac{3}{2}$ ± $\frac{\sqrt{13}}{2}$ D、（y- $\frac{9}{8}$ ）² = $\frac{145}{64}$ ， y= $\frac{9}{8}$ ± $\frac{\sqrt{145}}{8}$

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6. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）

A、2m²+m﹣1=0化为 ${(m + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{9}{16}$ B、x²﹣6x+4=0化为（x﹣3）²=5 C、2t²﹣3t﹣2=0化为 ${(t - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{25}{16}$ D、3y²﹣4y+1=0化为 ${(y - \frac{2}{3})}^{2} = \frac{1}{9}$

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7. 若用配方法解方程 $4 x^{2} + 12 x = 1$ ，通常要在此方程两边同时加上一个“适当”的数，则下面变形恰当的是（）

A、 $4 x^{2} + 12 x + {(\frac{12}{2})}^{2} = 1 + {(\frac{12}{2})}^{2}$ B、 $4 x^{2} + 12 x + 12^{2} = 1 + 12^{2}$ C、 $4 x^{2} + 12 x + 9 = 1 + 9$ D、 $4 x^{2} + 12 x + 12 = 1 + 12$

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8. 下列说法正确的是（）

A、方程ax²+bx+c=0是关于x的一元二次方程 B、方程3x²=4的常数项是4 C、若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根 D、用配方法解一元二次方程y²﹣2y﹣2019=0，可化为（y﹣1）²=2018

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二、填空题

9. 已知关于x的方程 $x^{2} + 4 x + n = 0$ 可以配方成 ${(x + m)}^{2} = 3$ ，则 ${(m - n)}^{2020} =$ ．

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10. 已知点P是线段 $A B$ 上的一点，如果 $A P^{2} = B P \cdot A B$ ，且 $A P = 2$ ，那么 $B P =$ ．

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11. 将方程 $x^{2} - m x + 8 = 0$ 用配方法化为 $（ x - 3)^{2} = n$ ，则 $m + n$ 的值是．

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12. 已知实数满足 $4 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ，则代数式的值为．

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13. 把方程x²+6x+3=0变形为（x+h）²=k的形式，其中h，k为常数，则k=

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三、解答题

14. 请用配方法解关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．

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15. 用配方法解方程 $2 x^{2} - \sqrt{2} x - 30 = 0$ ，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正．
解：方程两边都除以2并移项，得 $x^{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} x = 15$ ，
配方，得 $x^{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} x + {(\frac{1}{2})}^{2} = 15 + \frac{1}{4}$ ，
即 ${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{61}{4}$ ，
解得 $x - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{61}}{2}$ ，
即 $x_{1} = \frac{1 + \sqrt{61}}{2} ， x_{2} = \frac{1 - \sqrt{61}}{2}$ ．

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16. 王老师提出问题：求代数式x²+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；
解：x²+4x+5＝x²+4x+2²-2²+5＝（x+2）²+1，
∵（x+2）²≥0，∴（x+2）²+1≥1．
当（x+2）²＝0时，（x+2）²+1的值最小，最小值是1．
∴x²+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：

(1)、直接写出（x-1）²+3的最小值为．

(2)、求代数式x²+10x+32的最小值．

(3)、你认为代数式 $- \frac{1}{3} x^{2} + 2 x + 5$ 有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．

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四、实践探究题

17. 阅读材料，并回答问题：
下面是小明解方程 $x^{2} + 4 x - 2 = 0$ 的过程：
解：移项，得
$x^{2} + 4 x = 2$ ．     ①
配方，得
$x^{2} + 4 x + 4 = 2$ ， ②
$(x + 2)^{2} = 2$ ．     ③
由此可得
$x + 2 = \pm \sqrt{2}$ ，     ④
$x_{1} = \sqrt{2} - 2$ ， $x_{2} = - \sqrt{2} - 2$ ． ⑤

(1)、小明解方程的方法是____；

A、直接开平方法 B、配方法 C、公式法 D、因式分解法

(2)、上述解答过程中，从第步（填序号）开始出现了错误，原因是；

(3)、请你写出正确的解答过程．

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18. 阅读资料：阅读材料，完成任务：材料阿尔·花拉子密(约 780～约 850)，著名数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”。

他用以下方法求得一元二次方程 x²＋2x－35＝0 的解：

将边长为 x 的正方形和边长为 1 的正方形，外加两个长方形，长为 x ，宽为 1，拼合在一起的面积是 x²＋2×x×1＋1×1，而由 x²＋2x－35＝0 变形得 x²＋2x＋1＝35＋1（如图所示），即右边边长为 x＋1 的正方形面积为 36。

所以(x＋1)²＝36，则 x＝5.

任务：请回答下列问题

(1)、上述求解过程中所用的方法是（）

A、直接开平方法 B、公式法 C、配方法 D、因式分解法

(2)、所用的数学思想方法是（）

A、分类讨论思想 B、数形结合思想 C、转化思想 D、公理化思想

(3)、运用上述方法构造出符合方程 x²＋8x－9＝0 的一个正根的正方形

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、实践探究题

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