【培优版】北师大版数学九上2.1认识一元二次方程同步练习

试卷更新日期：2024-07-11 类型：同步测试

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一、选择题

1. 给出下列方程： $① a x^{2} + b x + c = 0 (a ， b ， c$ 为常数 $)$ ； $② x^{2} + \frac{1}{x} - 1 = 0$ ； $③ 0.01 t^{2} = 1$ ； $④ x (x^{2} + x - 1) = x^{3}$ ； $⑤ x^{2} + 2 x = x^{2} - 1 .$ 其中一定是一元二次方程的有（）

A、 $5$ 个 B、 $4$ 个 C、 $3$ 个 D、 $2$ 个

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2. 小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如下：设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为 $x$ ，则下列方程正确的是（）
观鸟记录年度总结
2020年：观测鸟类150种
2021年：观测鸟类
2022年：观测鸟类216种

A、 $2 \times 150 x = 216$ B、 $150 x^{2} = 216$ C、 $150 + 150 x^{2} = 216$ D、 $150 {(1 + x)}^{2} = 216$

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3. 在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（）

A、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 15$ B、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 15$ C、 $x (x - 1) = 15$ D、 $x (x + 1) = 15$

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4. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列所列方程正确的是（）

A、 ${(1 + x)}^{2} = 121$ B、 $1 + x + x^{2} = 121$ C、 $1 + x + {(x + 1)}^{2} = 121$ D、 $1 + x + 2 (x + 1) = 121$

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5. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每间房每天的价格为120元时，房间会全部住满，当价格每增加10元时，就会有一个房间空闲，已知宾馆每天需对当天居住的每个房间支出30元的相关费用，设当天房价定为 $x (x \geq 120)$ 元/间，若宾馆每天利润为5000元，则可列方程为（）

A、 $(x - 30) (50 - \frac{x}{10}) = 5000$ B、 $(x - 50) (30 - \frac{x - 120}{10}) = 5000$ C、 $(x - 30) (50 - \frac{x - 120}{10}) = 5000$ D、 $(x - 50) (30 - \frac{120}{10}) = 5000$

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6. 我国古代著作 $《$ 四元玉鉴 $》$ 记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 $6210$ 文．如果每株椽的运费是 $3$ 文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 $6210$ 文能买多少株椽？设这批椽的数量为 $x$ 株，则符合题意的方程是（）

A、 $3 (x + 1) x = 6210$ B、 $3$ $(x - 1) = 6210$ C、 $(3 x - 1) x = 6210$ D、 $3 (x - 1) x = 6210$

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7. 《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何?”大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少?设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（）

A、 $x^{2} + 5^{2} = {(x + 1)}^{2}$ B、 $x^{2} + 1 0^{2} = {(x + 1)}^{2}$ C、 $x^{2} - 5^{2} = {(x - 1)}^{2}$ D、 $x^{2} - 1 0^{2} = {(x - 1)}^{2}$

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8. 如图，在长为 $32 m$ ，宽为 $20 m$ 的矩形地面上修筑同样宽的小路 $($ 图中阴影部分 $)$ ，余下部分种植草坪，要使小路的面积为 $100 m^{2}$ ，设小路的宽为 $x m$ ，则下面所列方程正确的是（）

A、 $32 \times 20 - 32 x - 20 x = 100$ B、 $32 x + 20 x = 100 + x^{2}$ C、 $(32 - x) (20 - x) + x^{2} = 100$ D、 $(32 - x) (20 - x) = 100$

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二、填空题

9. 已知（m﹣1）x^|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=

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10. 在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛28场，设共有 $x$ 个队参赛，根据题意，可列方程为．

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11. 若 $(m - 3) x^{2} - \sqrt{m} x + 2 = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，则 $m$ 的取值范围是为．

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12. 如图，某景区计划在一块长 $60 m$ 、宽 $30 m$ 的矩形空地上修建一个停车场，在停车场中修建四块大小相同的矩形停车区域，使停车区域的面积之和为 $880 m^{2}$ ．若四块停车区域之间以及周边留有宽度相同的行车通道，则行车通道的宽度为多少？设行车通道的宽度为 $x m$ ，根据题意可列方程为．

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13. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x ，则根据题意可列方程为．

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三、解答题

14. 已知a、b、c为三角形三个边， $a x^{2}$ +bx（x-1）= $c x^{2}$ -2b是关于x的一元二次方程吗？

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15. 若方程(m-2) $x^{m^{2} - 2}$ +(3-m)x-2=0是关于x的一元二次方程,试求代数式m²+2m-4的值.

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16. 一元二次方程a（x﹣1）²+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为2x²﹣3x﹣1=0，试求a，b，c的值．

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17. 已知关于x的方程（k﹣1）（k﹣2）x²+（k﹣1）x+5=0．求：
（1）当k为何值时，原方程是一元二次方程；
（2）当k为何值时，原方程是一元一次方程；并求出此时方程的解．

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18. 关于x的方程（m²-8m+19）x²-2mx-13=0是否一定是一元二次方程，甲、乙两同学有不同意见：
甲同学认为：原方程中二次项系数与m有关，可能为零，所以不能确定这个方程就是一元二次方程；
乙认为：原方程序中二次项系数m²-8m+19肯定不会等于零，所以可以确定这个方程一定是一元二次方程．
你认为甲、乙两同学的意见，谁正确？证明你的结论．

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二、填空题

三、解答题

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