【培优版】北师大版数序八上第一章勾股定理单元测试卷

试卷更新日期：2024-07-10 类型：单元试卷

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一、选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）

1. 如图，在 $△ A B C$ 中，边 $A B$ 的垂直平分线分别交 $A B$ ， $B C$ 于点 $M$ ， $E$ ，边 $A C$ 的垂直平分线分别交 $A C$ ， BC于点N ， F ， $△ A E F$ 的周长为9.若 $∠ B + ∠ C = 4 5^{∘}$ ， $E F = 4$ ，则 $△ A E F$ 的面积为（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、5 D、 $\frac{5}{2}$

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2. 如图，凸四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 90 ° ， ∠ C = 90 ° ， ∠ D = 60 ° ， A D = 3 ， A B = \sqrt{3}$ ，若点M、N分别为边 $C D ， A D$ 上的动点，则 $△ B M N$ 的周长最小值为（）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、 $3 \sqrt{6}$ C、6 D、3

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3. 矩形ABCD与ECFG如图放置，点B ， C ， F共线，点C ， E ， D共线，连接AG ，取AG的中点H，连接EH ．若 $A B = C F = 4$ ， $B C = C E = 2$ ，则 $E H =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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4. 如图使用4个全等三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x²+y²=49；②x−y=2；③2xy+4=49；④x+y=9. 其中正确的是（）

A、①② B、①②③ C、①②④ D、①②③④

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5. 如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边Ac沿CE翻折，使点A落在AB上的D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点F处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段BF的长为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6.
如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是BC边上除B、C点外的任意一点，则代数式AP²+PB•PC等于（　　）

A、25 B、15 C、20 D、30

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7.
图1为一个长方体，AD=AB=10，AE=6，M，N为所在棱的中点，图2为图1的表面展开图，则图2中MN的长度为（　　）

A、11 $\sqrt{2}$ B、10 $\sqrt{2}$ C、10 D、8

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8. 已知等腰三角形 $A B C$ ， $A B = A C$ ，点 $D$ 是 $B C$ 上一点，若 $A B = 10$ ， $B C = 12$ .则 $△ A B D$ 的周长可能是（）

A、15 B、20 C、28 D、36

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二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分)

9. 如图，有一直角三角形纸片 $A B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A C = 1$ ， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ． $F$ ， $G$ 分别是线段 $A D$ ， $B D$ 上的点， $H$ ， Ⅰ分别是线段 $A C$ ， $B C$ 上的点，沿 $H F$ ， $G I$ 折叠，使点 $A$ ， $B$ 恰好都落在线段 $C D$ 上的点 $E$ 处．当 $F G = E G$ 时， $A F$ 的长是．

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10. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $D$ 为 $Δ A B C$ 外一点，连接 $A D$ ， $B D$ ， $C D$ ，发现 $A D = 4$ ， $C D = 2$ 且 $∠ A D C = 45 °$ ，则 $B D =$ ．

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11. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 10$ ， $B C = 6$ ， $A C = 8$ ，点D在线段 $B C$ 上从点C向点B移动，同时，点E在线段 $A B$ 上由点A向点B移动，当点D与点B重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接 $A D$ ， $C E$ ，则 $A D + C E$ 的最小值为．

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12. 商场卫生间旋转门锁的局部图如图1所示，图2是其工作简化图．其中OD＝3.5cm，在自然状态下，把手竖直向下（把手底端到达A处）．旋转一定角度，使得把手底端B恰好卡在门边，此时底端A，B的竖直高度差为0.5cm，则OB的长度是 cm．当把手旋转到OC⊥OB时，点C与点B的高度差BH是 cm．

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13. 如图，已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上一点，BP＝1，则AP＝，若点Q是边AC上一点，BQ＝AP ，则AQ＝．

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三、解答题（共7题；共61分）

14. 如图1，在 $6 \times 8$ 的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动.

(1)、请在 $6 \times 8$ 的网格纸图2中画出运动时间t为2秒时的线段PQ并求其长度；

(2)、在动点P、Q运动的过程中，△PQB能否成为PQ=BQ的等腰三角形？若能，请求出相应的运动时间t；若不能，请说明理由；

(3)、在（1）中的图2中，点E如图所示，是否在PQ上存在一点M，使DM+EM的值最小，如存在，求出DM+EM最小值；如不存在，说明理由.

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15. 长方体的长为20cm，宽为10cm，高为15cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是多少？

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16. 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE，使∠DAE=90°，连结CE.

(1)、探究：如图①，当点D在线段BC上时，证明BC=CE+CD.

(2)、应用：在探究的条件下，若AB= $\sqrt{2}$ ，CD=1，则△DCE的周长为.

(3)、拓展：①如图②，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为.
②如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为.

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17. [阅读理解]
如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，求线段AD的长.

解：设BD＝x，则CD＝7﹣x.

∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°.

在Rt△ABD中，AD²＝AB²﹣BD² ，

在Rt△ACD中，AD²＝AC²﹣CD² ，

∴AB²﹣BD²＝AC²﹣CD².

又∵AB＝4，AC＝6，

∴4²﹣x²＝6²﹣（7﹣x）².

解得x＝ $\frac{29}{14}$ ，

∴BD＝ $\frac{29}{14}$ .

∴AD＝ $\sqrt{A B^{2} - B D^{2}}$ ＝ $\frac{3 \sqrt{255}}{14}$ .

[知识迁移]

(1)、在△ABC中，AB＝13，AC＝15，过点A作直线BC的垂线，垂足为D.
i）如图1，若BC＝14，求线段AD的长；

ii）若AD＝12，求线段BC的长.

(2)、如图2，在△ABC中，AB＝ $\frac{25}{4} \sqrt{5}$ ，AC＝ $\frac{5 \sqrt{29}}{2}$ ，过点A作直线BC的垂线，交线段BC于点D，将△ABD沿直线AB翻折后得到对应的△ $A B D^{'}$ ，连接CD′，若AD＝ $\frac{25}{2}$ ，求线段 $C D^{'}$ 的长.

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18.

(1)、【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①， $△ A B C$ 中，若 $A B = 8$ ， $A C = 6$ ，求 $B C$ 边上的中线 $A D$ 的取值范围．小明经过组内合作交流，得到了如下的解决方法：延长 $A D$ 至点 $E$ ，使 $D E = A D$ ，连接 $B E$ ．请根据小明的方法思考：
①由已知和作图能得到 $△ A D C ≌ △ E D B$ ，依据是     ▲     ．
A． $S A S$     B． $S S S$     C． $A A S$     D． $H L$
②由“三角形的三边关系”可求得 $A D$ 的取值范围是     ▲  ．

(2)、【初步运用】
如图②， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $B E$ 交 $A C$ 于 $E$ ，交 $A D$ 于 $F$ ，且 $A E = E F$ ，若 $E F = 4$ ， $E C = 3$ ，求线段 $B F$ 的长．

(3)、【灵活运用】
如图③，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $D$ 为 $B C$ 中点， $D E ⊥ D F$ ， $D E$ 交 $A B$ 于点 $E$ ， $D F$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ ．若 $B E = \sqrt{3}$ ， $C F = 2$ ，求 $E F$ 的长度．

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19.

(1)、观察猜想，如图①点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则BC、BD、CE之间的数量关系为；

(2)、问题解决，如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝6，AB＝3，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连结BD，求BD的长；

(3)、拓展延伸，如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，CB＝6，AB＝3，DC＝DA，请直接写出BD的长.

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20. 解答

(1)、【问题探究】
如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AC＝AD，∠ABE＝∠ADC，连接EC，BD．求证：EC＝BD．

(2)、【拓展延伸】
①如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝AB，D为AC上一点，连结BD，作BE⊥BD，AE⊥AC，连结DE．若AC＝2，请直接写出四边形ADBE的面积．
②如图3，四边形ABCD中，AD⊥AC，AC＝AD，∠ABC＝45°，AB＝3，BC＝1，请直接写出BD长．

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【培优版】北师大版数序八上第一章 勾股定理 单元测试卷

一、选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）

二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分)

三、解答题 （共7题；共61分）

【培优版】北师大版数序八上第一章勾股定理单元测试卷

三、解答题（共7题；共61分）