2024-2025学年北师大版数学八（上）1.1探索勾股定理同步测试

试卷更新日期：2024-07-10 类型：同步测试

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一、选择题

1. 在 Rt△ABC 中， ∠C = 90° ， AB = 3 ， AC = 2，则 BC 的值（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{13}$

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2. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.“折竹抵地”问题源自《九章算术》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C + A B = 10$ 尺， $B C = 4$ 尺，求AC的长.则AC的长为（）

A、4.2尺 B、4.3尺 C、4.4尺 D、4.5尺

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3. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A ， B ， C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D ，则CD的长为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2.2 D、3 $- \sqrt{5}$

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4.
图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（　　）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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5. 满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）

A、AC＝1，BC＝ $\sqrt{3}$ ，AB＝2 B、AC：BC：AB＝3：4：5 C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D、∠A：∠B：∠C＝3：4：5

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6. 在锐角 $△ A B C$ 中， $A B = 15$ ， $A C = 13$ ，高 $A D = 12$ ，则BC的长度为（）

A、16 B、15 C、14 D、13

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7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（　　）

A、1cm B、 $\frac{4}{3}$ cm C、 $\frac{5}{3}$ cm D、2cm

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8. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（）．

A、2.4m B、2m C、2.5m D、2.7m

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二、填空题

9. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为．

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10. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 $100 c m$ ， $15 c m$ 和 $10 c m$ ， $A$ 和 $B$ 是这个台阶的两个端点， $A$ 点上有一只蚂蚁想到 $B$ 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为 $c m$ .

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11. 如图，在 $R t △ A B C$ 和 $R t △ B D E$ 中， $∠ A B C = ∠ B D E = 90 °$ ，点 $A$ 在边 $D E$ 的中点上，若 $A B = B C$ ， $D B = D E = 2$ ，连结 $C E$ ，则 $C E$ 的长为．

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12. 在平面直角坐标系中，将一副三角板按如图所示的方式摆放，BO、DO分别与 $y 轴、 x 轴重合， ∠ A B O = ∠ D C O = 90 ° ， ∠ A O B = 30 ° ， ∠ C O D = 45 °$ .动点 $M$ 在边 $O A$ 上运动，动点 $N$ 在边 $O C$ 上运动， $O D$ 的中点 $P$ 的坐标为 $（ 2 ， 0 ）$ ，则 $P N + M N$ 的最小值是.

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13. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $D E$ 平分 $∠ A D C$ ，交 $A C$ 与点 $E$ ， $E F ⊥ A B$ 于点 $F$ ，且交 $A D$ 于点 $G$ ，若 $A G = 1$ ， $B C = 6$ ，则 $A F =$ ．

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三、作图题

14. 用刻度尺和圆规作一条线段，使它的长度为 $\sqrt{5}$ cm．（保留作图痕迹）

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15. 如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝CD＝5，AD＝BC＝3.

(1)、尺规作图：在边BC找一点P，使得△ABP沿直线AP折叠时，B点恰好落在边CD上：（写出作法过程，保留作图痕迹，不需证明）

(2)、求BP的长.

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四、解答题

16. 如图，折叠矩形的一边 $A D$ ，使点 $D$ 落在 $B C$ 边的点 $F$ 处，已知AB=8cm，BC=10cm，求 $E C$ 的长

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17. 如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10点E是CD的中点，求AE的长．

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五、实践探究题

18. 定义：在任意 $△ A B C$ 中，如果一个内角度数的2倍与另一个内角度数的和为 $90 °$ ，那么称此三角形为“倍角互余三角形”.

(1)、【基础巩固】若 $△ A B C$ 是“倍角互余三角形”， $∠ C > 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ，则 $∠ B =$ $°$ ；

(2)、【尝试应用】如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 为线段 $B C$ 上一点，若 $∠ C A D$ 与 $∠ C A B$ 互余.求证： $△ A B D$ 是“倍角互余三角形”；

(3)、【拓展提高】如图2，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，试问在边 $B C$ 上是否存在点 $E$ ，使得 $△ A B E$ 是“倍角互余三角形”？若存在，请求出 $B E$ 的长；若不存在，请说明理由.

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六、综合题

19. 在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处.

(1)、如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为°.

(2)、如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长.

(3)、如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长.

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20. 在长方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A D$ 中点，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折叠后得到对应的 $△ G B E$ ，将 $B G$ 延长交直线 $D C$ 于点 $F$ ．

(1)、如果点 $G$ 在长方形 $A B C D$ 的内部，如图 $①$ 所示．
①求证： $G F = D F$ ；
②若 $D F = \frac{2}{3} C D$ ， $A D = 4$ ，求 $A B$ 的长度．

(2)、如果点 $G$ 在长方形 $A B C D$ 的外部，如图 $②$ 所示， $A D = k A B (k > 2)$ ，请用含 $k$ 的代数式表示 $\frac{D F}{C D}$ 的值．

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2024-2025学年北师大版数学八（上）1.1探索勾股定理 同步测试

一、选择题

二、填空题

三、作图题

四、解答题

五、实践探究题

六、综合题

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