2016年广东省中山市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）

试卷更新日期：2016-09-30 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 设集合M={x|log₂（x﹣1）＞0}，集合N={x|x≥﹣2}，则N∩∁_RM=（）

A、{x|x≤﹣2} B、{x|﹣2＜x≤2} C、{x|﹣2≤x≤3} D、{x|﹣2≤x≤2}

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2. 复数z= $\frac{2 i}{1 + i}$ 的共轭复数是（）

A、1+i B、1﹣i C、 $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ i D、 $\frac{1}{2}$ ﹣ $\frac{1}{2}$ i

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3. 某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N（300，100），则用电量在320度以上的户数估计约为（）
[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）=99.74%]．

A、17 B、23 C、34 D、46

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4. 以下判断正确的是（）

A、函数y=f（x）为R上可导函数，则f′（x₀）=0是x₀为函数f（x）极值点的充要条件 B、命题“存在x∈R，x²+x﹣1＜0”的否定是“任意x∈R，x²+x﹣1＞0” C、命题“在锐角△ABC中，有 sinA＞cosB”为真命题 D、“b=0”是“函数f（x）=ax²+bx+c是偶函数”的充分不必要条件

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5. 函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ $\frac{π}{2}$ ＜φ＜ $\frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（）

A、2，﹣ $\frac{π}{3}$ B、2，﹣ $\frac{π}{6}$ C、4，﹣ $\frac{π}{6}$ D、4， $\frac{π}{3}$

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6. 两个等差数列的前n项和之比为 $\frac{5 n + 10}{2 n - 1}$ ，则它们的第7项之比为（）

A、45：13 B、3：1 C、80：27 D、2：1

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7. 已知实数x，y满足 ${\begin{matrix} 5 x + 2 y - 18 \leq 0 \\ 2 x - y \geq 0 \\ x + y - 3 \geq 0 \end{matrix}$ ，若直线kx﹣y+1=0经过该可行域，则实数k的最大值是（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、3

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8. 阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（）

A、39 B、21 C、81 D、102

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9. 某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（百分制）如表所示：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
数学成绩
95
75
80
94
92
65
67
84
98
71
67
93
64
78
77
90
57
83
72
83
物理成绩
90
63
72
87
91
71
58
82
93
81
77
82
48
85
69
91
61
84
78
86
若数学成绩90分（含90分）以上为优秀，物理成绩85（含85分）以上为优秀．有多少把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系（）

A、99.5% B、99.9% C、97.5% D、95%

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10. 已知抛物线的方程为y²=2px（p＞0），焦点为F，O为坐标原点，A是该抛物线上一点， $\vec{F A}$ 与x轴的正方向的夹角为60°，若△AOF的面积为 $\sqrt{3}$ ，则p的值为（）

A、2 B、2 $\sqrt{3}$ C、2或2 $\sqrt{3}$ D、2或 $\sqrt{2}$

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11. 如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）

A、8π B、16π C、32π D、64π

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12. 设函数f（x）= ${\begin{matrix} e^{x} - a (x < 1) \\ \ln (x + a) (x \geq 1) \end{matrix}$ ，其中a＞﹣1．若f（x）在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）

A、[e+1，+∞） B、（e+1，+∞） C、（e﹣1，+∞） D、[e﹣1，+∞）

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{b}$ 为单位向量，向量 $\vec{a}$ =（1，1），且| $\vec{a}$ ﹣ $\sqrt{2}$ $\vec{b}$ |= $\sqrt{6}$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为．

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14. 已知m=3 $\int_{0}^{π}$ sinxdx，则二项式（a+2b﹣3c）^m的展开式中ab²c^m^﹣³的系数为．

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15. 已知F₁、F₂分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得（ $\vec{O M}$ + $\vec{O F_{2}}$ ）• $\vec{F_{2} M}$ =0（其中O为坐标原点），且| $\vec{M F_{1}}$ |= $\sqrt{3}$ | $\vec{M F_{2}}$ |，则双曲线离心率为．

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16.
如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC=15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC=45°，根据以上数据可得cosθ= ．

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三、解答题

17. 设等比数列{a_n}的前n项和为S_n ，已知a₁=2，且4S₁ ， 3S₂ ， 2S₃成等差数列．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n=|2n﹣5|•a_n ，求数列{b_n}的前n项和T_n ．

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18. 有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如表：
所用的时间（天数）
10
11
12
13
通过公路l的频数
20
40
20
20
通过公路2的频数
10
40
40
10
假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发（将频率视为概率）．

(1)、为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径；

(2)、若通过公路l、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到；每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，生产商将支付给销售商2万元．如果汽车A，B按（I）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．
所以汽车A选择公路1．汽车B选择公路2

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19.
如图1，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2AD=4，点E、F分别是AB、CD的中点，点G在EF上，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF，如图2．

(1)、当AG+GC最小时，求证：BD⊥CG；

(2)、当2V_B_﹣_ADGE=V_D_﹣_GBCF时，求二面角D﹣BG﹣C平面角的余弦值．

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20. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁、F₂ ，且椭圆E过点（0， $\sqrt{3}$ ），（ $\sqrt{3}$ ，﹣ $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ），点A是椭圆上位于第一象限的一点，且△AF₁F₂的面积S_△ $_{A F_{1} F_{2}}$ = $\sqrt{3}$ ．

(1)、求点A的坐标；

(2)、过点B（3，0）的直线l与椭圆E相交于点P、Q，直线AP、AQ分别与x轴相交于点M、N，点C（ $\frac{5}{2}$ ，0），证明：|CM|•|CN|为定值，并求出该定值．

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21. 设a∈R，函数f（x）=x²e¹^﹣^x﹣a（x﹣1）．

(1)、当a=1时，求f（x）在（ $\frac{3}{4}$ ，2）内的极大值；

(2)、设函数g（x）=f（x）+a（x﹣1﹣e¹^﹣^x），当g（x）有两个极值点x₁ ， x₂（x₁＜x₂）时，总有x₂g（x₁）≤λf′（x₁），求实数λ的值．（其中f′（x）是f（x）的导函数．）

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22. 如图，△ABC内接于直径为BC的圆O，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点P，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点D、E，若PA=2PB=10．

(1)、求证：AC=2AB；

(2)、求AD•DE的值．

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23. 在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线L： ${\begin{matrix} x = 2 + \cos α \\ y = \sqrt{3} + t s i n α \end{matrix}$ （T为参数）与曲线C： ${\begin{matrix} x = 2 \cos ϕ \\ y = \sin ϕ \end{matrix}$ （φ为参数）相交于不同的两点A，B．

(1)、若α= $\frac{π}{3}$ ，若以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，求直线AB的极坐标方程；

(2)、若直线的斜率为 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ ，点P（2， $\sqrt{3}$ ），求|PA|•|PB|的值．

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24. 已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．

(1)、若a=2，解不等式f（x）≤3；

(2)、若存在实数a，使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围．

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序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
数学成绩	95	75	80	94	92	65	67	84	98	71	67	93	64	78	77	90	57	83	72	83
物理成绩	90	63	72	87	91	71	58	82	93	81	77	82	48	85	69	91	61	84	78	86

所用的时间（天数）	10	11	12	13
通过公路l的频数	20	40	20	20
通过公路2的频数	10	40	40	10