2024-2025学年北师大版数学九（上）1.3正方形的性质与判定同步测试

试卷更新日期：2024-07-09 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB等于（）

A、135° B、45° C、22.5° D、30°

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2. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）

A、对角线相等 B、对角线互相平分 C、对角线互相垂直 D、对角线互相平分且相等

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3. 菱形、矩形、正方形都具有的性质是（）

A、两组对边分别平行且相等 B、对角线相等 C、四条边相等，四个角相等 D、对角线互相垂直

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4. 如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（　　）

A、2 $\sqrt{3}$ +2 B、5- $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、3- $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$ +1

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5. 下列说法正确的是（）

A、菱形的四个内角都是直角 B、矩形的对角线互相垂直 C、正方形的每一条对角线平分一组对角 D、平行四边形是轴对称图形

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6. 如图，将 $n$ 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， …， $A_{n}$ 分别是正方形的中心，则这 $n$ 个正方形重叠部分的面积之和是（）

A、 $n$ B、 $n - 1$ C、 ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ D、 $\frac{1}{4} n$

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7. 如图，边长为2的正方形ABCD的中心与坐标原点 $O$ 重合， $A B / / x$ 轴，将正方形ABCD绕原点 $O$ 顺时针旋2023次，每次旋转 $45 °$ ，则顶点 $B$ 的坐标是（）

A、 $(\sqrt{2} ， - 1)$ B、 $(0 ， - \sqrt{2})$ C、 $(0 ， \sqrt{2})$ D、 $(- 1 ， - 1)$

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8. 已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于 $O$ ．则下列说法正确的是（）

A、当 $O A = O C$ 时，平行四边形ABCD为矩形 B、当 $A B = A D$ 时，平行四边形ABCD为正方形 C、当 $∠ A B C = 90 °$ 时，平行四边形ABCD为菱形 D、当 $A C ⊥ B D$ 时，平行四边形ABCD为菱形

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二、填空题

9. 如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为°．

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10. 正方形 $A B C D$ 和正方形 $C E F G$ 中，点 $D$ 在 $C G$ 上， $B C = 1$ ， $C E = 3$ ， $H$ 是 $A F$ 的中点，那么 $C H$ 的长是．

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11. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4 \sqrt{2}$ ， O是 $B C$ 边的中点，点E是正方形内一动点， $O E = 2$ ，连接 $D E$ ，将线段 $D E$ 绕点D逆时针旋转 $90 °$ 得 $D F$ ，连接 $A E 、 C F$ ，则线段 $O F$ 长的最小值为．

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12. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，以顶点C、D为圆心，2为半径的两弧交于点E ，点F为AB边的中点，连接EF ，则EF的长为．

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13.
如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE=4，则线段BE的长为．

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三、作图题

14. 如图，在正方形ABCD中， $B E = C E$ ，请仅用无刻度的直尺画图（保留画图痕迹，不写画法）.
图① 图②

(1)、在图①中，画出AD的中点M；

(2)、在图②中，画出CD的中点N.

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15. 如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，以点A为中心，把△ABE逆时针旋转90°，设点E的对应点为F.

(1)、画出旋转后的三角形和点E经过的路径；

(2)、若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的长.

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四、解答题

16. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形， $△ B C E$ 是等边三角形，连接 $A E 、 D E$ ．

(1)、求证： $A E = D E$ ；

(2)、求 $∠ A E D$ 的度数．

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17. 正方形ABCD的边长为5，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM ．

(1)、求证：△DEF≌△DMF；

(2)、若AE＝2，求EF的长．

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五、实践探究题

18. 【探究与证明】成语“以不变应万变”中蕴含着某种数学原理.
图1 图2
【动手操作】如图1， $A C$ 是正方形 $A B C D$ 的对角线，点E是 $A C$ 上的一个动点，过点E和B作等腰直角 $△ E F G$ ，其中 $∠ F E G = 90 °$ ， $E F > A B$ ， $E G$ 与射线 $D C$ 交于点P.
请完成：

(1)、试判断图1中的 $∠ B E C$ 和 $∠ P E C$ 的数量关系；

(2)、当点P在线段 $D C$ 上时，求证： $E P = B E$ .

(3)、【类比操作】如图2，当点P在线段 $D C$ 的延长线上时. $E P = B E$ 是否还成立?请判断并证明你的结论.

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六、综合题

19. 矩形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，连接AB ，将△ABC沿AB折叠得△ABE ， AE交y轴于点D ，线段OD、OA的长是方程x²－7x＋12＝0的两个根，且OA＞OD．

(1)、请直接写出点A的坐标为，点D的坐标为；

(2)、点P为直线AB上一点，连接PO、PD ，当△POD的周长最小时，求点P的坐标；

(3)、点M在x轴上，点N在直线AB上，坐标平面内是否在点Q ，使以B、M、N、Q为顶点的四边形为正方形?若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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20. 如图，点 $M$ ， $N$ 分别在正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ ， $C D$ 上，且 $∠ M A N = 45 °$ ，把 $△ A D N$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A B E$ ．

(1)、求证： $△ A E M$ ≌ $△ A N M$ ．

(2)、若 $B M = 3$ ， $D N = 2$ ，求正方形 $A B C D$ 的边长．

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