2024-2025学年北师大版数学九（上）1.2矩形的性质与判定同步测试

试卷更新日期：2024-07-09 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，对角线AC，BD相交于点O.下列结论一定成立的是（）

A、AC⊥BD B、AC=BD C、AB=BC D、AB=AC

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2. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 关于矩形的性质、下面说法错误的是（）

A、矩形的四个角都是直角 B、矩形的两组对边分别相等 C、矩形的两组对边分别平行 D、矩形的对角线互相垂直平分且相等

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4. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）

A、当 $A B = B C$ 时，它是菱形 B、当 $A C ⊥ B D$ 时，它是菱形 C、当 $A C = B D$ 时，它是正方形 D、当 $∠ A B C = 90 °$ 时，它是矩形

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5. 如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法：
① .四边形EFGH一定是平行四边形；
②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形；
③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形．
其中正确的是（）

A、① B、①② C、①③ D、①②③

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6. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A C$ 、 $B D$ 相交于点O ， $A E$ 平分 $∠ B A D$ 交 $B C$ 于点E ，若 $∠ C A E = 15 °$ ，则 $∠ B O E$ 的度数为（）

A、 $60 °$ B、 $75 °$ C、 $72 °$ D、 $90 °$

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7. 数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形 $A B C D$ 沿 $D E$ 折叠，使点 $C$ 落在 $A B$ 边的点 $F$ 处，其中 $D E = 5 \sqrt{5}$ ，且 $s i n ∠ D F A = \frac{4}{5}$ ，则矩形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $80$ B、 $64$ C、 $36$ D、 $18$

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8. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $D C$ 边上一点，把 $△ A D E$ 沿 $A E$ 翻折，使点 $D$ 恰好落在 $B C$ 边上的点 $F$ 处， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = 4$ ，则 $E C$ 的长为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $1$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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二、填空题

9. 如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是（添加一个条件即可）．

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10.
如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为

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11.
如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上的一定点，P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是AE、PE的中点，记MN的长度为a，在点P运动过程中，a不断变化，则a的取值范围是．

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12. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F，若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为．

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13. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 8$ ， $A B = 6$ ，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点E ，将 $△ A D E$ 沿着 $D E$ 翻折到 $△ F D E$ ，连接 $C F$ ，则 $C F$ 的长为．

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三、作图题

14. 已知四边形 $A B C D$ 为矩形，点 $E$ 是边 $A D$ 的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．

(1)、在图1中作出矩形 $A B C D$ 的对称轴 $m$ ，使 $m / / A B$ ；

(2)、在图2中作出矩形 $A B C D$ 的对称轴 $n$ ，使 $n / / A D$ ．

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四、解答题

15. 如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．

(1)、求证：四边形BFDE是矩形；

(2)、若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．

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16. 如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．

(1)、试判断四边形AEBO的形状，并说明你的理由；

(2)、求证：EO＝DC ．

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五、实践探究题

17. 实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片 $A B C D$ 沿过点D的直线折叠，使点A落在 $C D$ 上的点 $A^{'}$ 处，得到折痕 $D E$ ，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片 $A B C D$ 沿过点E的直线折叠，点C恰好落在 $A D$ 上的点 $C^{'}$ 处，点B落在点 $B^{'}$ 处，得到折痕 $E F$ ， $B^{'} C^{'}$ 交 $A B$ 于点M， $C^{'} F$ 交 $D E$ 于点N，再把纸片展平．

问题解决：

(1)、如图1，填空：四边形 $A E A^{'} D$ 的形状是；

(2)、如图2，线段 $M C^{'}$ 与 $M E$ 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；

(3)、如图2，若 $A C^{'} = 2 cm ， D C' = 4 cm$ ，求 $D N ： E N$ 的值．

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六、综合题

18. 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．

(1)、求证：四边形BEDF是平行四边形；

(2)、当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

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19. 如图，四边形ABCD为矩形，O为AC中点，过点O作AC的垂线分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE．

(1)、求证：四边形AFCE是菱形．

(2)、若AC=8，EF=6，求BF的长.

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20. 如图，在▱ABCD中，已知E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．

(1)、求证：AB=CF；

(2)、当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．

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