2024-2025学年北师大版数学九（上）1.1菱形的性质与判定同步训练

试卷更新日期：2024-07-09 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）

A、80° B、70° C、65° D、60°

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2. 如图，要使 $▱ A B C D$ 成为菱形，则需添加的一个条件是（）

A、 $A C = A D$ B、 $∠ A B C = 90 °$ C、 $A C ⊥ B D$ D、 $A C = B D$

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3. 如图，在菱形ABCD中，AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形AB边上的高CE的长是（）

A、4.8cm B、9.6cm C、5cm D、10cm

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4. 如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于（）

A、2 B、3.5 C、7 D、14

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5. 下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是（）

A、对角线垂直 B、两组对边分别平行 C、对角线互相平分 D、两组对角分别相等

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6. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 ° ， A D = 8. P$ 是 $A B$ 边上的一点， $E ， F$ 分别是 $D P ， B P$ 的中点，则线段 $E F$ 的长为（）

A、8 B、 $2 \sqrt{5}$ C、4 D、 $2 \sqrt{2}$

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7. 如图，已知菱形 $A B C D$ 的周长为 $8$ ， $∠ A = 60 °$ ，则对角线 $B D$ 的长是（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点 $A (5 ， 0)$ ， $B (8 ， 4)$ ，点P是对角线OB上的一个动点， $D (0 ， 1)$ ，当 $C P + D P$ 最短时，点P的坐标为（）

A、 $(0 ， 0)$ B、 $(1 ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{6}{5} ， \frac{3}{5})$ D、 $(\frac{10}{7} ， \frac{5}{7})$

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二、填空题

9. 如右图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为.

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10. 如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH ，只要添加条件ACBD ．就能保证四边形EFGH是菱形．

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11. 菱形的两条对角线长分别为 $6$ 和 $8$ ，则这个菱形的周长为．

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12.
如图，已知平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是．

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13. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ B = 30 °$ ， $P$ 为 $A D$ 边上一动点，将 $△ P C D$ 沿 $C P$ 折叠为 $△ P C D'$ ， $E$ 为 $A B$ 边上一点， $B E = C E$ ，则 $D' E$ 的最小值为．

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三、作图题

14. 已知线段AC

(1)、尺规作图：作菱形ABCD，使AC是菱形的一条对角线（保留作图痕迹，不要求写作法）；

(2)、若AC＝8，BD＝6，求菱形的边长．

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四、解答题

15. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，BF交AC于G，连接CF．

(1)、求证：EF＝EB；

(2)、若∠BAC＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

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16. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC ， AB＝AD ，对角线AC ， BD交于点O ， AC平分∠BAD ，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E ，连接OE ．

(1)、求证：四边形ABCD是菱形；

(2)、若AB＝10，BD＝8，求OE的长．

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五、实践探究题

17. 综合与实践
[问题情境]
如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线BD上，点B的对应点记为B'，折痕与边AD，BC分别交于点E，F．

(1)、 [活动猜想]如图2，当点B'与点D重合时，四边形BEDF是哪种特殊的四边形？并给予证明．

(2)、 [问题解决]如图1，当AB=4， AD=8，BF=3时，连结B'C，则B'C的长为

(3)、 [深入探究]如图3，请直接写出AB与BC满足什么关系时，始终有A'B'与对角线AC平行？

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18. 课本再现

思考

我们知道，菱形的对角线互相垂直.反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?

可以发现并证明菱形的一个判定定理；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

(1)、定理证明

为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程.

已知：在 $□ A B C D$ 中，对角线 $B D ⊥ A C$ ，垂足为 $O$ .

求证： $□ A B C D$ 是菱形.

(2)、知识应用

如图2，在 $□ A B C D$ 中，对角线AC和BD相交于点 $O ， A D = 5 ， A C = 8 ， B D = 6$ .求证： $□ A B C D$ 是菱形.

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六、综合题

19. 如图，已知正七边形ABCDEFG，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．

(1)、在图1中，画出一个以AB为边的平行四边形；

(2)、在图2中，画出一个以AF为边的菱形．

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20. 如图，矩形 $E F G H$ 的顶点E，G分别在菱形 $A B C D$ 的边 $A D$ ， $B C$ 上，顶点F，H在菱形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 上．

(1)、求证： $B G = D E$ ；

(2)、若E为 $A D$ 中点， $F H = 2$ ，求菱形 $A B C D$ 的周长．

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