湖南省长沙市2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-07-09 类型：中考真卷

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一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000，建设和应用规模居世界第一.用科学记数法将数据1290000000表示为（）

A、 $1.29 \times 1 0^{8}$ B、 $12.9 \times 1 0^{8}$ C、 $1.29 \times 1 0^{9}$ D、 $129 \times 1 0^{7}$

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3. “玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器.“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是-180℃、最高温度是150℃，则它能够耐受的温差是（）

A、 $- 18 0^{°} C$ B、 $15 0^{°} C$ C、 $3 0^{°} C$ D、 $33 0^{°} C$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $x^{6} \div x^{4} = x^{2}$ B、 $\sqrt{5} + \sqrt{6} = \sqrt{11}$ C、 ${(x^{3})}^{2} = x^{5}$ D、 $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2}$

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5. 为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（）

A、9.2 B、9.4 C、9.5 D、9.6

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6. 在平面直角坐标系中，将点 $P (3, 5)$ 向上平移2个单位长度后得到点 $P^{^{'}}$ 的坐标为（）

A、 $(1, 5)$ B、 $(5, 5)$ C、(3，3) D、(3，7)

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7. 对于一次函数 $y = 2 x - 1$ ，下列结论正确的是（）

A、它的图象与 $y$ 轴交于点 $(0, - 1)$ B、 $y$ 随 $x$ 的增大而减小 C、当 $x > \frac{1}{2}$ 时， $y < 0$ D、它的图象经过第一、二、三象限

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 6 0^{°}, ∠ B = 5 0^{°}, A D / / B C$ ，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、 $5 0^{°}$ B、 $6 0^{°}$ C、 $7 0^{°}$ D、 $8 0^{°}$

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9. 如图，在 $⊙ O$ 中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离 $O E = 4$ ，则 $⊙ O$ 的半径长为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、5 D、 $5 \sqrt{2}$

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10. 如图，在菱形ABCD中， $A B = 6, ∠ B = 3 0^{°}$ ，点 $E$ 是BC边上的动点，连接AE，DE，过点 $A$ 作 $A F ⊥ D E$ 于点 $F$ .设 $D E = x, A F = y$ ，则 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式为(不考虑自变量 $x$ 的取值范围)（）

A、 $y = \frac{9}{x}$ B、 $y = \frac{12}{x}$ C、 $y = \frac{18}{x}$ D、 $y = \frac{36}{x}$

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二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分,共18分)

11. 为了比较甲、乙、丙三种水稻秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8.由此可知种秧苗长势更整齐(填“甲”、“乙”或“丙”).

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12. 某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节，抽奖方案如下：不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球(除颜色外其余都相同)，其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个.每次摇匀后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖，每个家庭有且只有一次抽奖机会.小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为.

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13. 要使分式 $\frac{6}{x - 19}$ 有意义.则 $x$ 需满足的条件是.

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14. 半径为4，圆心角为 $9 0^{°}$ 的扇形的面积为(结果保留 $π$ ).

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DE.若 $D E = 12$ ，则AB的长为.

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16. 为庆视中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生.其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010)，得到最终的运算结果.只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份，若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是

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三、解答题（本大题共9个小题、第17、18、19题每小题6分,第20、21题每小题8分,第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 计算： ${(\frac{1}{4})}^{- 1} + | - \sqrt{3} | - 2 c o s 3 0^{°} - (π - 6.8)^{°}$

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18. 先化简，再求值： $2 m - m (m - 2) + (m + 3) (m - 3)$ ，其中 $m = \frac{5}{2}$ .

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19. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°}, A B = 2 \sqrt{5}, A C = 2$ ，分别以点A，B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，两弧分别交于点 $M$ 和 $N$ ，作直线MN分别交AB，BC于点D，E，连接CD，AE.

(1)、求CD的长；

(2)、求 $△ A C E$ 的周长.

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20. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势.2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图．
类型人数百分比
纯电 m 54%
混动 n a%
氢燃料 3 b%
油车 5 c%

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、本次调查活动随机抽取了人；表中 $a =$ ， $b =$ ；

(2)、请补全条形统计图；

(3)、请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；

(4)、若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料)汽车的有多少人?

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21. 如图，点 $C$ 在线段AD上， $A B = A D, ∠ B = ∠ D, B C = D E$ .

(1)、求证： $△ A B C ≅ △ A D E$ ：

(2)、若 $∠ B A C = 6 0^{°}$ ，求 $∠ A C E$ 的度数.

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22. 刺绣是我国民间传统手工艺.湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外.在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品.已知购买1件 $A$ 种湘绣作品与2件 $B$ 种湘绣作品共需要700元，购买2件 $A$ 种湘绣作品与3件 $B$ 种湘绣作品共需要1200元.

(1)、求 $A$ 种湘绣作品和 $B$ 种湘绣作品的单价分别为多少元?

(2)、该国际旅游公司计划购买 $A$ 种湘绣作品和 $B$ 种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买 $A$ 种湘绣作品多少件?

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23. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线AC，BD相交于点 $O, ∠ A B C = 9 0^{°}$ .

(1)、求证： $A C = B D$ ；

(2)、点 $E$ 在BC边上，满足 $∠ C E O = ∠ C O E$ .若 $A B = 6, B C = 8$ ，求CE的长及 $t a n ∠ C E O$ 的值.

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24. 对于凸四边形，根据它有无外接圆(四个顶点都在同一个圆上)与内切圆(四条边都与同一个圆相切)，可分为四种类型，我们不妨约定：
既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形：
只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形：
只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形：
既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形.
请你根据该约定，解答下列问题：

(1)、请你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”).
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；（）
②内角不等于 $9 0^{°}$ 的菱形一定是“内切型单圆”四边形；（）
③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为 $R$ ，内切圆半径为 $r$ ，则有 $R = \sqrt{2} r$ .（）

(2)、如图1，已知四边形ABCD内接于 $⊙ O$ ，四条边长满足： $A B + C D \neq B C + A D$ .
①该四边形ABCD是“ ▲ ”四边形(从约定的四种类型中选一种填入)；
②若 $∠ B A D$ 的平分线AE交 $⊙ O$ 于点 $E, ∠ B C D$ 的平分线CF交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接EF.求证：EF是 $⊙ O$ 的直径.

(3)、已知四边形ABCD是“完美型双图”四边形，它的内切图 $⊙ O$ 与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H.
①如图2，连接EG，FH交于点 $P$ .求证： $E G ⊥ F H$ ；
②如图3，连接OA，OB，OC，OD，若 $O A = 2, O B = 6, O C = 3$ ，求内切圆 $⊙ O$ 的半径 $r$ 及OD的长.

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25. 已知四个不同的点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2}), C (x_{3}, y_{3}), D (x_{4}, y_{4})$ 都在关于 $x$ 的函数 $y = a x^{2} + b x + c (a, b, c$ 是常数， $a \neq 0)$ 的图象上.

(1)、当A，B两点的坐标分别为 $(- 1, - 4), (3, 4)$ 时，求代数式 $2024 a + 1012 b + \frac{3}{7}$ 的值；

(2)、当A，B两点的坐标满足 $a^{2} + 2 (y_{1} + y_{2}) a + 4 y_{1} y_{2} = 0$ 时，请你判断此函数图象与 $x$ 轴的公共点的个数，并说明理由；

(3)、当 $a > 0$ 时，该函数图象与 $x$ 轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足： $2 a^{2} + 2 (y_{1} + y_{2}) a + {y_{1}}^{2} + {y_{2}}^{2} = 0, 2 a^{2} - 2 (y_{3} + y_{4}) a + {y_{3}}^{2} + {y_{4}}^{2} = 0$ .请问是否存在实数 $m (m > 1)$ ，使得 $A B, C D, m \cdot E F$ 这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3？若存在，求出 $m$ 的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由(注： $m \cdot E F$ 表示一条长度等于EF的 $m$ 倍的线段).

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类型	人数	百分比
纯电	m	54%
混动	n	a%
氢燃料	3	b%
油车	5	c%