四川省雅安市2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-07-09 类型：中考真卷

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一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 2024的相反数是（　　）

A、2024 B、 $- 2024$ C、 $\frac{1}{2024}$ D、 $- \frac{1}{2024}$

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2. 计算 $(1 - 3)^{0}$ 的结果是（）

A、 $- 2$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $4$

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3. 下列几何体中，主视图是三角形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $a + 3 b = 4 a b$ B、 $(a^{2})^{3} = a^{5}$ C、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ D、 $a^{5} \div a = a^{4}$

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5. 如图，直线 $A B$ ， $C D$ 交于点 $O$ ， $O E ⊥ A B$ 于 $O$ ，若 $∠ 1 = 35 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $55 °$ B、 $45 °$ C、 $35 °$ D、 $30 °$

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6. 不等式组 $\{\begin{array}{l} 3 x - 2 \geq 4 \\ 2 x < x + 6 \end{array}$ 的解集在数轴上表示为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 在平面直角坐标系中，将点 $P (1, - 1)$ 向右平移 $2$ 个单位后，得到的点 $P_{1}$ 关于 $x$ 轴的对称点坐标是（）

A、 $(1,1)$ B、 $(3,1)$ C、 $(3, - 1)$ D、 $(1, - 1)$

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8. 如图， $⊙ O$ 的周长为 $8 π$ ，正六边形 $A B C D E F$ 内接于 $⊙ O .$ 则 $△ O A B$ 的面积为（）

A、 $4$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $6$ D、 $6 \sqrt{3}$

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9. 某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中 $8$ 名同学的成绩 $($ 单位：分 $)$ 分别为： $85$ ， $81$ ， $82$ ， $86$ ， $82$ ， $83$ ， $92$ ， $89 .$ 关于这组数据，下列说法中正确的是（）

A、众数是 $92$ B、中位数是 $84.5$ C、平均数是 $84$ D、方差是 $13$

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10. 已知 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1 (a + b \neq 0) .$ 则 $\frac{a + a b}{a + b} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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11. 在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房 $C D$ 的高度 $($ 如图 $)$ ，他们在 $A$ 处仰望楼顶，测得仰角为 $30 °$ ，再往楼的方向前进 $50$ 米至 $B$ 处，测得仰角为 $60 °$ ，那么这栋楼的高度为 $($ 人的身高忽略不计 $)$ （）

A、 $25 \sqrt{3}$ 米 B、 $25$ 米 C、 $25 \sqrt{2}$ 米 D、 $50$ 米

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12. 已知一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两实根 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 3$ ，且 $a b c > 0$ ，则下列结论中正确的有（）
$① 2 a + b = 0$ ；
$②$ 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的顶点坐标为 $(1, \frac{4 c}{3})$ ；
$③ a < 0$ ；
$④$ 若 $m (a m + b) < 4 a + 2 b$ ，则 $0 < m < 1$ ．

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

13. 要使式子 $\sqrt{x - 1}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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14. 将 $- 2$ ， $\frac{8}{7}$ ， $π$ ， $0$ ， $\sqrt{2}$ ， $3.14$ 这 $6$ 个数分别写在 $6$ 张同样的卡片上，从中随机抽取 $1$ 张，卡片上的数为有理数的概率是．

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15. 如图是 $1$ 个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度 $H$ 与杯子数量 $n$ 的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据 $($ 字母 $)$ ，请选用适当的字母表示 $H =$ ．
$①$ 杯子底部到杯沿底边的高 $h$ ；
$②$ 杯口直径 $D$ ；
$③$ 杯底直径 $d$ ；
$④$ 杯沿高 $a$ ．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = ∠ D A E = 40 °$ ，将 $△ A D E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转一定角度，当 $A D / / B C$ 时， $∠ B A E$ 的度数是．

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17. 如图，把矩形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折叠，使点 $C$ 落在点 $E$ 处， $B E$ 与 $A D$ 交于点 $F$ ，若 $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，则 $c o s ∠ A B F$ 的值是．

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三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.

(1)、计算： $\sqrt{9} - (\frac{1}{2})^{- 1} + (- 5) \times | - \frac{1}{5} |$ ；

(2)、先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{a^{2}}) \div \frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} - a}$ ，其中 $a = 2$ ．

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19. 某中学对八年级学生进行了教育质量监测，随机抽取了参加 $15$ 米折返跑的部分学生成绩 $($ 成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级 $)$ ，并绘制了不完整的统计图 $($ 如图所示 $) .$ 根据图中提供的信息解答下列问题：

(1)、请把条形统计图补充完整；

(2)、若该校八年级学生有 $300$ 人，试估计该校八年级学生 $15$ 米折返跑成绩不合格的人数；

(3)、从所抽取的优秀等级的学生 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到 $A$ 、 $B$ 两位同学的概率．

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20. 如图，点 $O$ 是▱ $A B C D$ 对角线的交点，过点 $O$ 的直线分别交 $A D$ ， $B C$ 于点 $E$ ， $F$ ．

(1)、求证： $△ O D E$ ≌ $△ O B F$ ；

(2)、当 $E F ⊥ B D$ 时， $D E = 15 c m$ ，分别连接 $B E$ ， $D F .$ 求此时四边形 $B E D F$ 的周长．

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21. 某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为 $3000$ 米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加 $25 %$ ，结果提前 $15$ 天完成铺设任务．

(1)、求原计划与实际每天铺设管道各多少米？

(2)、负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为 $300$ 元，所有工人的工资总金额不超过 $18$ 万元 $.$ 该公司原计划最多应安排多少名工人施工？

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22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象 $l$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于 $M (\frac{1}{2}, 4)$ ， $N (n, 1)$ 两点．

(1)、求反比例函数及一次函数的表达式；

(2)、求 $△ O M N$ 的面积；

(3)、若点 $P$ 是 $y$ 轴上一动点，连接 $P M$ ， $P N .$ 当 $P M + P N$ 的值最小时，求点 $P$ 的坐标．

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23. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上的一点，点 $P$ 是 $B A$ 延长线上的一点，连接 $A C$ ， $∠ P C A = ∠ B$ ．

(1)、求证： $P C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $s i n ∠ B = \frac{1}{2}$ ，求证： $A C = A P$ ；

(3)、若 $C D ⊥ A B$ 于 $D$ ， $P A = 4$ ， $B D = 6$ ，求 $A D$ 的长．

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24. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (1,0)$ ， $B (3,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、如图 $①$ ，若点 $P$ 是线段 $B C$ 上的一个动点 $($ 不与点 $B$ ， $C$ 重合 $)$ ，过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交抛物线于点 $Q$ ，当线段 $P Q$ 的长度最大时，求点 $Q$ 的坐标；

(3)、如图 $②$ ，在 $(2)$ 的条件下，过点 $Q$ 的直线与抛物线交于点 $D$ ，且 $∠ C Q D = 2 ∠ O C Q .$ 在 $y$ 轴上是否存在点 $E$ ，使得 $△ B D E$ 为等腰三角形？若存在，直接写出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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