新人教版（2024版）七年级上学期数学第二章质量高阶检测

试卷更新日期：2024-07-09 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和.如： $2^{3} = 3 + 5$ ， $3^{3} = 7 + 9 + 11$ ， $4^{3} = 13 + 15 + 17 + 19$ .……仿此，若 $m^{3}$ 的“分裂数”中有一个是281，则 $m =$ （）

A、16 B、17 C、18 D、19

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2. 若ab≠0，则 $\frac{a}{| a |} + \frac{b}{| b |} + \frac{a b}{| a b |}$ 的值（）

A、1 B、-3 C、0 D、-1或3

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3. 已知 $| x | = 3$ ， $| y | = 2$ ，且 $x y < 0$ ，则 $x - y$ 的值等于（）

A、 $- 1$ 或1 B、5或 $- 5$ C、5或 $- 1$ D、 $- 5$ 或1

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4. 六个整数的积a·b·c·d·e·f=-36，a，b，c，d，e，f互不相等，则a+b+c+d+e+f的和可能是（）

A、0 B、10 C、6 D、8

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5. 有理数 $a ， b ， c$ 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（）
① $a b c > 0$ ；② $a + c < b$ ；③ $\frac{| a |}{a} + \frac{| b |}{b} + \frac{| c |}{c} = - 1$ ；④ $| a - b | - | b - c | = | a - c |$ .

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. $2021$ 减去它的 $\frac{1}{2}$ ，再减去余下的 $\frac{1}{3}$ ，再减去余下的 $\frac{1}{4}$ ，....，以此类推，一直减到余下的 $\frac{1}{2021}$ ，则最后剩下的数是（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $\frac{2020}{2021}$ D、 $\frac{2021}{2020}$

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7. 四个互不相等的整数 $a 、 b 、 c 、 d$ ，它们的积 $a b c d = 9$ ，那么 $a + b + c + d$ 等于（）

A、0 B、8 C、-8 D、 $\pm 8$

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8. (－2)²⁰⁰²＋(－2)²⁰⁰³结果为（）

A、－2 B、0 C、－2²⁰⁰² D、以上都不对

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9. 六位数由三位数重复构成，如256256，或678678等等，这类数不能被何数整除（）

A、11 B、101 C、13 D、1001

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10. 定义关于 $a, b$ 的新运算： $f (a \cdot b) = f (a) - f (b) (a \leq b)$ ，其中 $a, b$ 为整数，且 $a \cdot b$ 为 $a$ 与 $b$ 的乘积，例如， $f (2) = 5, f (3) = 4, f (6) = f (2 \cdot 3) = f (2) - f (3) = 1$ ，若 $f (4) = 1$ ，则 $f (1024)$ 的结果为（）

A、1 B、 $- 1$ C、4 D、 $- 4$

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. “转化”是一种解决数学问题的常用方法，有时借助几何图形可以帮助我们找到转化的方法．例如，借助图（1）可以把算式1+3+5+7+9+11转化为6²＝36．这是将数字求和问题转化为面积求和问题，从而建立数与形的联系，使问题易于解决．利用这样的方法，请观察图（2）计算 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$ ＝．

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12. 若有理数a ， b ， c满足a+b+c＝0，abc＞0，则 $\frac{b + c}{| a |} + \frac{a + c}{| b |} + \frac{a + b}{| c |}$ ＝．

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13. 设 $a$ ， $b$ ， $c$ 为非零有理数，则算式 $\frac{a}{| a |} + \frac{| b |}{b} + \frac{c}{| c |} + \frac{| a b |}{a b} + \frac{a c}{| a c |} + \frac{| b c |}{b c} + \frac{a b c}{| a b c |}$ 可能的取值是

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14. 绝对值小于2019的所有整数之和为.

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15. 已知a,b的和，a,b的积及b的相反数均为负，则a,b,-a,a+b,b-a的大小关系是．（用“<”把它们连接起来）

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三、计算题（共3题，共24分）

16. 观察 $\frac{1}{1 \times 2}$ + $\frac{1}{2 \times 3}$ =（1－ $\frac{1}{2}$ ）+（ $\frac{1}{2}$ － $\frac{1}{3}$ ）=1－ $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{3}$

(1)、计算： $\frac{1}{1 \times 2}$ + $\frac{1}{2 \times 3}$ + $\frac{1}{3 \times 4}$ +……+ $\frac{1}{2013 \times 2014}$ =

(2)、计算： $\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \dots \dots + \frac{1}{99 \times 101}$

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17. 阅读下面的文字,回答后面的问题：
求 $5 + 5^{2} + 5^{3} + \dots + 5^{100}$ 的值.
解：令 $S = 5 + 5^{2} + 5^{3} + \dots + 5^{100} ① ，$
将等式两边同时乘以5得到: $5 S = 5^{2} + 5^{3} + 5^{4} + \dots + 5^{101} ② ，$
②-①得: $4 S = 5^{101} - 5$
∴ $S = \frac{5^{101} - 5}{4}$ 即 $5 + 5^{2} + 5^{3} + \dots + 5^{100} = \frac{5^{101} - 5}{4} .$
问题:

(1)、求 $2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{100}$ 的值；

(2)、求 $2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{100}$ 的值；

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18. 已知： $| a | = 5$ ， $| b | = 3$ ，

(1)、求 $a + b$ 的值.

(2)、若 $| a + b | = a + b$ ，求 $a - b$ 的值.

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四、解答题（共5题，共51分）

19. 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．如下所示是该市自来水收费价目表．
价目表
每月用水量
单价
不超出 $6 m^{3}$ 的部分
3元/ $m^{3}$
超出 $6 m^{3}$ 但不超出 $10 m^{3}$ 的部分
5元/ $m^{3}$
超出 $10 m^{3}$ 的部分
9元/ $m^{3}$
注：水费按月结算．

(1)、填空：若该户居民2月份用水 $4 m^{3}$ ，则应收水费元；

(2)、若该户居民3月份用水 $a m^{3}$ （其中 $6 < a < 10$ ），则应收水费多少元？（用 $a$ 的整式表示并化简）

(3)、若该户居民4，5月份共用水 $15 m^{3}$ （5月份用水量超过了4月份），设4月份用水 $x m^{3}$ ，求该户居民4，5月份共交水费多少元？（用 $x$ 的整式表示并化简）

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20. 阅读下面的计算过程，体会“拆项法”
计算：﹣5 $\frac{5}{6}$ +（﹣9 $\frac{2}{3}$ ）+17 $\frac{3}{4}$ +（﹣3 $\frac{1}{2}$ ）

解：原式＝[（﹣5）+（﹣ $\frac{5}{6}$ ）]+[（﹣9）+（﹣ $\frac{2}{3}$ ）]+（17+ $\frac{3}{4}$ ）+[（﹣3）+（﹣ $\frac{1}{2}$ ）]

＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+（﹣ $\frac{5}{6}$ ）+（﹣ $\frac{2}{3}$ ）+ $\frac{3}{4}$ +（﹣ $\frac{1}{2}$ ）]

＝0+（﹣1 $\frac{1}{4}$ ）

＝﹣1 $\frac{1}{4}$

启发应用

用上面的方法完成下列计算：

(1)、（﹣3 $\frac{3}{10}$ ）+（﹣1 $\frac{1}{2}$ ）+2 $\frac{3}{5}$ ﹣（﹣2 $\frac{1}{2}$ ）；

(2)、（﹣2000 $\frac{5}{6}$ ）+（﹣1999 $\frac{2}{3}$ ）+4000 $\frac{2}{3}$ +（﹣1 $\frac{1}{2}$ ）．

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21. 问题探索：如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合.

(1)、若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为cm.

(2)、图中点A所表示的数是，点B所表示的数是.

(3)、实际应用：由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦! ”请问妙妙现在多少岁了？

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22. 横州市某茉莉花茶加工厂计划一周加工茉莉花精油350kg，平均每天加工50kg，由于各种原因实际每天加工与计划量相比有出入．下表是某周的加工情况（超量为正、减量为负）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
超/减
+15
-20
-15
+35
+25
-10
+20

(1)、根据记录可知前两天共加工多少kg精油？

(2)、加工最多的一天比加工最少的一天多了多少kg？

(3)、该厂实行计量工资制5元/kg，超额完成任务奖2元/kg，不完成任务扣1元/kg，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？

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23. 点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是 ${A ， B}$ 的奇点.
例如，如图，点A表示的数为－3，点B表示的数为1.表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是 1，那么点C是 ${A ， B}$ 的奇点；又如，表示－2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是的 ${A ， B}$ 奇点，但点D是 ${B ， A}$ 的奇点.

（知识运用）

如图，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为－3，点N所表示的数为5.

(1)、数所表示的点是 ${M ， N}$ 的奇点；数所表示的点是 ${N ， M}$ 的奇点；

(2)、如图，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为－50，点B所表示的数为30.现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止.P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？

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价目表
每月用水量	单价
不超出 $6 m^{3}$ 的部分	3元/ $m^{3}$
超出 $6 m^{3}$ 但不超出 $10 m^{3}$ 的部分	5元/ $m^{3}$
超出 $10 m^{3}$ 的部分	9元/ $m^{3}$
注：水费按月结算．

星期	一	二	三	四	五	六	日
超/减	+15	-20	-15	+35	+25	-10	+20